第10章 第2讲 用样本估计总体-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第2讲　用样本估计总体 课程标准：1.能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性.2.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义.3.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义．会计算样本均值和样本方差，结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差.4.结合实例，能用样本估计总体的取值规律.5.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义. 1．频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义 2．频率分布折线图 用线段连接频率分布直方图中各个矩形上面一边的中点，就得到频率分布折线图． 3．不同统计图的特点及适用类型 (1)不同的统计图在表示数据上的特点 扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势． (2)不同的统计图适用的数据类型 条形图适用于描述离散型的数据，直方图适用于描述连续型数据． 4．百分位数 (1)定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． (2)计算步骤：计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 5．总体集中趋势的估计 (1)平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势． (2)一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数. 6．频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法 (1)样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替． (2)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. (3)将最高小矩形所在的区间中点的横坐标作为众数的估计值． 7．方差、标准差 (1)假设一组数据为x1，x2，…，xn，则 ①平均数＝， ②方差s2＝ (xi－)2， ③标准差s＝ . (2)如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝ (Yi－)2为总体方差，S＝ 为总体标准差． 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝fi(Yi－)2. (3)如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝ (yi－)2为样本方差，s＝为样本标准差． (4)标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小． (5)分层随机抽样的均值与方差 分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为，样本方差为s2. 以分两层抽样的情况为例，假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为s.则＝xi，s＝ (xi－)2，＝yi，s＝ (yi－)2. 则①＝＋， ②s2＝{m[s＋(－)2]＋n[s＋(－)2]}＝. 平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a. (2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则： ①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2. 1．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中，可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　) A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数 答案　B 解析　因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B. 2．(多选)给出一组数据：1,3,3,5,5,5，下列说法正确的是(　　) A．这组数据的极差为4 B．这组数据的平均数为3 C．这组数据的中位数为4 D．这组数据的众数为3和5 答案　AC 解析　这组数据的极差为5－1＝4，A正确；平