第9章 高考大题冲关系列5 高考解析几何中的热点题型-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

高考大题冲关系列(5) 命题动向：圆锥曲线问题在高考中属于必考内容，并且常常在同一份试卷上多题型考查．对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法：第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识；第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题，解决此类问题的关键是通过联立方程来解决． 题型1　最值、范围问题 角度　最值问题 例1　(2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值． 解　(1)因为焦点F到圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为|FM|－1＝＋4－1＝＋3， 所以＋3＝4，所以p＝2. (2)解法一：由(1)知抛物线C：x2＝4y，即y＝. 所以y′＝. 设切点A(x1，y1)，切点B(x2，y2)， 则lPA：y＝x－，lPB：y＝x－. 从而可得P. 由题意可知直线AB的斜率存在， 设lAB：y＝kx＋b，与抛物线C：x2＝4y联立， 得消去y，得x2－4kx－4b＝0， 则Δ＝16k2＋16b>0，即k2＋b>0， 且x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以P(2k，－b)． 因为|AB|＝·＝·，点P到直线AB的距离d＝， 所以S△PAB＝|AB|·d＝· 又点P(2k，－b)在圆M：x2＋(y＋4)2＝1上， 所以k2＝. 将该式代入(*)式，得 而yP＝－b∈[－5，－3]，所以b∈[3,5]． 所以当b＝5时，△PAB的面积最大，最大值为20. 解法二：由(1)知抛物线C：x2＝4y，即y＝. 所以y′＝. 设切点A(x1，y1)，切点B(x2，y2)，圆M上任意一点P(x0，y0)， 则易得lPA：y＝x－，lPB：y＝x－， 联立得P. 所以x0＝，y0＝， 又线段AB的中点Q的坐标为. 所以S△PAB＝|PQ|·|x1－x2| ＝·|x1－x2| ＝·|x1－x2| ＝|x1－x2|3＝3 ＝3 ＝3＝3.(*) 又点P(x0，y0)在圆M：x2＋(y＋4)2＝1上，所以x＝1－(y0＋4)2， 代入(*)式，得S△PAB＝(－y－12y0－15) . 而y0∈[－5，－3]，所以当y0＝－5时，△PAB的面积最大，最大值为20. [冲关策略]　处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 变式训练1　(2022·浙江高考)如图，已知椭圆＋y2＝1.设A，B是椭圆上异于P(0,1)的两点，且点Q在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y＝－x＋3于C，D两点． (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (2)求|CD|的最小值． 解　(1)设M(2cosθ，sinθ)是椭圆上任意一点，P(0,1)，则|PM|2＝12cos2θ＋(1－sinθ)2＝13－11sin2θ－2sinθ＝－112＋≤，当且仅当sinθ＝－时取等号，故|PM|的最大值是，即点P到椭圆上点的距离的最大值为. (2)易知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋，直线AB的方程与椭圆＋y2＝1联立，可得x2＋kx－＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以 因为直线PA：y＝x＋1与直线y＝－x＋3交于点C， 则xC＝＝，同理可得，xD＝＝， 则|CD|＝|xC－xD| ＝ ＝2 ＝2 ＝× ＝× ＝×≥×＝，当且仅当k＝时等号成立， 故|CD|的最小值为. 角度　范围问题 例2　(2021·浙江高考)如图，已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|＝2. (1)求抛物线的方程； (2)设过点F的直线交抛物线于A，B两点，若斜率为2的直线l与直线MA，MB，AB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且满足|RN|2＝|PN|·|QN|，求直线l在x轴上截距的取值范围． 解　(1)因为M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|＝2，所以p＝2.所以抛物线的方程为y2＝4x. (2)由(1)知，F(1,0)，M(－1,0)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋1，直线l的方程为y＝2x＋n(n≠±2)． 由可得y2－4my－4＝0，显然Δ>0， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， 所以y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋8. 易知直线AM的方程为y＝(x＋1)， 则由 可得P. 同理