第9章 第10讲 抛物线(2)-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第10讲　抛物线(二) 课程标准：1.理解直线与抛物线的位置关系，会求直线被抛物线所截的弦长.2.通过直线与抛物线的位置关系，进一步体会数形结合的思想. 直线与抛物线的位置关系 已知直线l：y＝kx＋m，抛物线y2＝2px(p>0)，联立得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0. (1)直线l与抛物线相切：k≠0，Δ＝0； (2)直线l与抛物线相交：k≠0，Δ>0或k＝0； (3)直线l与抛物线相离：k≠0，Δ<0. 抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)； (3)＋为定值； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 1．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”，“直线与抛物线只有一个公共点”时，直线可能与对称轴平行，此时不相切，故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件．故选A. 2．直线y＝k(x－1)＋2与抛物线x2＝4y的位置关系为(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 答案　A 解析　直线y＝k(x－1)＋2过定点(1,2)，∵12<4×2，∴(1，2)在抛物线x2＝4y内部，∴直线y＝k(x－1)＋2与抛物线x2＝4y相交．故选A. 3．(2022·河南豫湘名校联考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若AB的中点M的横坐标为2，则|AB|＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　C 解析　设点A，B的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝2xM＝4.由过抛物线的焦点的弦长公式知|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋2＝6.故选C. 4．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A，B两点(A在第一象限)，交抛物线C的准线于点D，若＝，|AF|＝4，则下列结论正确的是(　　) A．p＝2 B．直线l的倾斜角为 C．|BF|＝2 D．以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切 答案　ABD 解析　过A，B作准线的垂线，垂足为A1，B1.由抛物线定义知|AA1|＝|AF|＝|AD|，所以在Rt△A1AD中，知∠A1AD＝，故直线l的倾斜角θ为，|AF|＝＝2p＝4，p＝2，|BF|＝＝，因此A，B正确，C错误；过AB的中点E作准线的垂线EE1(E1为垂足)，由梯形的中位线可知|EE1|＝＝＝，所以以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，所以D正确．故选ABD. 5．已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________. 答案　0或1 解析　直线y＝kx＋2中，当k＝0时，y＝2，此时直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且仅有一个公共点；当k≠0时，把y＝kx＋2代入抛物线y2＝8x，得(kx＋2)2＝8x，整理，得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，∵直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且仅有一个公共点，∴Δ＝(4k－8)2－16k2＝0，解得k＝1.故k的值为0或1. 6．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝________. 答案　 解析　解法一：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，|AF|＝3，由抛物线的定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，所以点A的横坐标为2.如图，不妨设点A在第一象限，将x＝2代入y2＝4x，得y2＝8，所以点A的纵坐标为2，即A(2,2)，所以直线AF的方程为y＝2(x－1)． 由解得或 所以点B的横坐标为，所以|BF|＝－(－1)＝. 解法二：如图，不妨设点A在第一象限， 设∠AFx＝θ，A(xA，yA)，B(xB，yB)， 则由抛物线的定义知xA＋1＝2＋3cosθ＝3， 解得cosθ＝.又|BF|＝xB＋1＝1－|BF|cosθ＋1＝2－|BF|，所以|BF|＝. 考向一　抛物线的切线 例1　(1)过抛物线x2＝4y上一点(4,4)的抛物线的切线方程为________. 答案　y＝2x－4 解析　解法一：设切线方程为y－4＝k(x－4)． 由⇒x2＝4(kx－4k＋4)⇒x2－4kx＋16(k－1)＝0，由Δ＝(－4k)2－4×16(k－1)