第9章 第8讲 双曲线(2)-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第8讲　双曲线(二) 课程标准：1.理解直线与双曲线的位置关系，会求直线被双曲线所截的弦长.2.通过直线与双曲线的位置关系，进一步体会数形结合的思想. 直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，　① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，　② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点. (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时， Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有2个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有1个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. 1．直线y＝与双曲线－y2＝1交点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 答案　B 解析　直线与双曲线的一条渐近线平行，所以有一个交点． 2．双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是(　　) A．{1} B．(0,1) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案　D 解析　双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝ax(a>0)与双曲线x2－y2＝a2没有公共点，则a≥1. 3．双曲线－＝1与直线y＝－x＋m(m∈R)的公共点的个数为(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 答案　C 解析　双曲线的渐近线方程为y＝±x，当m＝0时，直线y＝－x与双曲线没有公共点；当m≠0时，直线y＝－x＋m与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线只有一个公共点．综上，双曲线－＝1与直线y＝－x＋m(m∈R)的公共点的个数为0或1. 4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)，直线y＝k(x－c)与双曲线的右支有两个交点，则(　　) A．|k|> B．|k|< C．|k|> D．|k|< 答案　A 解析　双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－c)经过焦点F(c,0)，当k>0时，k>，当k<0时，k<－，故|k|>.故选A. 5．过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则|AB|＝________. 答案　3 解析　易得双曲线的左焦点F1(－2,0)，∴直线AB的方程为y＝(x＋2)，与双曲线方程联立，得8x2－4x－13＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，∴|AB|＝ × ＝3. 6．(2022·全国甲卷(文))记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值：________. 答案　2(满足1＜e≤皆可) 解析　因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，所以C的渐近线方程为y＝±x，结合渐近线的特点，只需0＜≤2，即≤4，可满足条件“直线y＝2x与C无公共点”，所以e＝＝≤ ＝，又e＞1，所以1＜e≤. 考向一　直线与双曲线的位置关系 例1　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数k的取值范围． (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 解　消去y，得 (1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.　(*) 当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线渐近线平行，方程化为2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，且只有一个公共点． 当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)． 当即－<k<，且k≠±1时，方程(*)有两个不相等的实数解，即直线l与双曲线有两个公共点． 当即k＝±时，方程(*)有两个相等的实数解，即直线l与双曲线有且仅有一个公共点． 当即k<－或k>时，方程(*)无实数解，即直线l与双曲线无公共点． 综上所述，(1)当－<k<－1或－1<k<1或1<k<时，直线l与双曲线有两个公共点； (2)当k＝±1或k＝±时，直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)当k<－或k>时，直线l与双曲线没有公共点． 　　直线与双曲线位置关系的判断方法 (1)方程思想的应用 判断已知直线与双曲线的位置关系，将直线与双曲线方程联立，消去y(或x)，则二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行(或重合)，直线与双曲线只有一个公共点(或无公共点)；二次项系数不等于0时，若Δ>0，则直线与双曲线有两个公共点，若Δ＝0，则直线与双曲线有一个公共点，若Δ<0，则直线与双曲线没有公共点． (2)数形结