第9章 第7讲 双曲线(1)-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第7讲　双曲线(一) 课程标准：1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，掌握其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).2.了解双曲线的简单应用. 1．双曲线的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0： (1)当a<c时，M点的轨迹是双曲线； (2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线； (3)当a>c时，M点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)， A2(a,0) A1(0，－a)， A2(0，a) 焦点 F1(－c,0)， F2(c,0) F1(0，－c)， F2(0，c) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线． 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 3．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2. 4．若P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a. 5．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 1．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于(　　) A．1 B．17 C．1或17 D．以上均不对 答案　B 解析　根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17，故选B. 2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　) A. B． C． D． 答案　D 解析　由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，点(3，－4)在渐近线上，∴＝，∴e＝＝＝.故选D. 3．等轴双曲线的一个焦点是F1(0，－6)，则其标准方程为(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 答案　C 解析　等轴双曲线的一个焦点是F1(0，－6)，故焦点在y轴上，c＝6且a＝b，根据a2＋b2＝c2，得a＝b＝3，故双曲线的标准方程为－＝1.故选C. 4．已知双曲线－＝1，则下列说法正确的是(　　) A．离心率为2 B．渐近线方程为x±y＝0 C．焦距为2 D．焦点到渐近线的距离为 答案　A 解析　因为双曲线－＝1，所以a＝，b＝，c＝ ＝2，所以离心率e＝＝＝2；渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x，即x±y＝0；焦距为2c＝4；焦点坐标为(0，±2)，焦点到渐近线的距离为d＝＝.故选A. 5．写出一个焦点在y轴上且离心率为的双曲线方程为________. 答案　y2－＝1(答案不唯一，符合要求即可) 解析　取c＝，则e＝＝，可得a＝1，∴b＝ ＝，因此，符合条件的双曲线方程为y2－＝1(答案不唯一，符合要求即可)． 6．已知曲线方程－＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________. 答案　(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 解析　∵方程－＝1表示双曲线， ∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2或λ>－1. 考向一　双曲线的定义 例1　(1)(2020·全国Ⅰ卷)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　) A. B．3 C． D．2 答案　B 解析　双曲线的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，因为|OP|＝2＝|F1F2|，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形，故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16.又||PF