第9章 第6讲 椭圆(2)-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第6讲　椭圆(二) 课程标准：1.理解直线与椭圆的位置关系，掌握直线被椭圆所截的弦长公式.2.体会数形结合的思想. 1．点与椭圆的位置关系 已知点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则 (1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1； (2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1； (3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1. 2．直线与椭圆位置关系的判断 已知直线y＝kx＋m，椭圆＋＝1，联立得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0， 若该一元二次方程的判别式为Δ，则 Δ>0⇔有两个交点⇔相交； Δ＝0⇔有一个交点⇔相切； Δ<0⇔无交点⇔相离． 3．弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ |x1－x2|＝ 或|AB|＝·|y1－y2|＝，k为直线斜率且k≠0. 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)． (1)过焦点的弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. (2)若点P(x0，y0)在椭圆上，则过点P的切线方程为＋＝1. (3)若AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－. (4)若过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－. 1．直线y＝2x－1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 答案　A 解析　解法一：直线方程y＝2x－1过点(1,1)，而(1,1)在椭圆内部．故选A. 解法二：由得10y2＋2y－35＝0，Δ＝22－4×10×(－35)＝1404>0，∴直线y＝2x－1与椭圆＋＝1相交．故选A. 2．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的弦长的最大值是(　　) A．2 B． C．4 D．不能确定 答案　B 解析　直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，则弦长为＝ ＝ ，当y＝－时，弦长最大为. 3．已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为(　　) A．6 B．15 C．20 D．12 答案　D 解析　S＝|OF||yA－yB|≤|OF|·2b＝12. 4．(2022·河南郑州诊断考试)已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为(　　) A．±1 B．± C． D．± 答案　A 解析　由消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由|AB|＝可知 ＝，解得m＝±1.故选A. 5．(2022·济宁模拟)已知椭圆C：＋＝1，过点P的直线交椭圆C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为(　　) A．3x－2y－2＝0 B．3x＋2y－4＝0 C．3x＋4y－5＝0 D．3x－4y－1＝0 答案　B 解析　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由中点坐标公式可得所以 由①－②得＋＝0，即＝－，即·＝kAB＝－，所以kAB＝－，因此直线AB的方程为y－＝－(x－1)，即3x＋2y－4＝0. 6．若点P是椭圆E：＋y2＝1上的动点，则点P到直线x－y－3＝0的距离的最小值是________，此时点P的坐标为________. 答案　　 解析　设与椭圆E相切且平行于直线x－y－3＝0的直线为l：x－y＋m＝0，联立整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.则Δ＝64m2－4×5(4m2－4)＝0，解得m＝±.当m＝－时，直线l与直线x－y－3＝0之间的距离为＝，当m＝时，直线l与直线x－y－3＝0之间的距离为＝2，所以点P到直线x－y－3＝0的最小距离是.此时5x2－8x＋16＝0，解得x＝，将x＝代入x－y－＝0，得y＝－，则点P的坐标为. 考向一　直线与椭圆的位置关系 例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立， 得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相等的实数根，可知原方程组仅有一组实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 　　研究直线与椭圆位置关系的方法 (1)研究直线与椭圆的位置关系，一