第9章 第5讲 椭圆(1)-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第5讲　椭圆(一) 课程标准：1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情景中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质. 1．椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P表示椭圆； (2)若a＝c，则集合P表示线段； (3)若a<c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 离心率 e＝∈(0,1) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2) ＝|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，△PF1F2的面积取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ. 1．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．9 答案　B 解析　4＝ (m>0)⇒m＝3.故选B. 2．方程＋＝10的化简结果是(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 答案　C 解析　由方程左边式子的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＝5，所以b2＝a2－c2＝9，故化简结果为＋＝1. 3．已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　) A．长轴长为 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 答案　D 解析　把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝.故选D. 4．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 答案　D 解析　依题意，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，所以解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为＋＝1.故选D. 5．(2022·河北邢台诊断考试)已知点P(x1，y1)是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是其左、右焦点，当∠F1PF2最大时，△PF1F2的面积是(　　) A. B．12 C．16(2＋) D．16(2－) 答案　B 解析　∵椭圆的方程为＋＝1，∴a＝5，b＝4，c＝＝3，∴F1(－3,0)，F2(3,0)．根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，∠F1PF2最大，此时△PF1F2的面积S＝×2×3×4＝12.故选B. 6．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________. 答案　(3,4)∪(4,5) 解析　由已知得解得3＜k＜5且k≠4. 考向一　椭圆的定义及其应用 例1　(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案　B 解析　点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，动点P的轨迹是椭圆． (2)如图，椭圆＋＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为(　　) A. B． C. D． 答案　D 解析　由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|2＝4a2－16，由余弦定理得4a2－16＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即4a2－16＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝，∴＝