第9章 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 课程标准：1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆，圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题. 1．直线与圆的位置关系与判断方法 方法 过程 依据 结论 代数法 联立方程组消去x(或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac Δ>0 相交 Δ＝0 相切 Δ<0 相离 几何法 计算圆心到直线的距离d，比较d与半径r的关系 d＜r 相交 d＝r 相切 d＞r 相离 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法 若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d＞r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 内含 0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2) (2)代数法 通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数 ①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条． (2)两圆相交时公共弦的方程 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0. (3)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 1．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为(　　) A. B．2 C． D．2 答案　D 解析　直线方程为y＝x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，则圆心(0,2)到直线的距离d＝＝1，所以所求弦长为2×＝2. 2．圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0 C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0 答案　D 解析　圆Q的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.∵P(1，)在圆Q上，∴所求切线方程为(1－2)(x－2)＋(－0)(y－0)＝4，即x－y＋2＝0. 3．对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆C：x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．以上三个选项均有可能 答案　C 解析　直线y＝kx－1恒经过点A(0，－1)，圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心为C(1,0)，半径为，而|AC|＝<，所以点A在圆内，故直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0相交．故选C. 4．圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是(　　) A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 答案　B 解析　易得圆C1的圆心为C1(－2,2)，半径r1＝2，圆C2的圆心为C2(2,5)，半径r2＝4，圆心距|C1C2|＝＝5，因为|4－2|<|C1C2|<4＋2，所以两圆相交． 5．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在的直线方程为________. 答案　x－y＋2＝0 解析　将两圆方程相减，得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0. 6．(2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________. 答案　－2　 解析　根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0,3)， 则|AB|＝ ＝2， |AC|＝ ＝ ， |BC|＝|m－3|.∵直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A，∴∠BAC＝90°，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2