第9章 第3讲 圆的方程-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第3讲　圆的方程 课程标准：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 1．圆的定义、方程 (1)平面上到定点的距离等于定长的点的集合是圆． (2)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中圆心为(a，b)，半径为r. (3)圆的一般方程 对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0： ①方程表示圆的充要条件：D2＋E2－4F>0，其中圆心坐标：， 半径r＝ ； ②当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示点； ③当D2＋E2－4F<0时，该方程不表示任何图形． 2．点与圆的位置关系 (1)理论依据 点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三个结论 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，d为圆心到点M的距离． ①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上⇔d＝r； ②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外⇔d>r； ③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内⇔d<r. 1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则 3．求圆的方程，如果借助圆的几何性质，能使解题思路简化减少计算量，常用的几何性质有： (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　) A．(2,3)，3 B．(－2,3)， C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)， 答案　D 解析　圆x2＋y2－4x＋6y＝0化成标准形式为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆心坐标为(2，－3)，半径r＝.故选D. 2．已知A(1,0)，B(0,3)，则以AB为直径的圆的方程是(　　) A．x2＋y2－x－3y＝0 B．x2＋y2＋x＋3y＝0 C．x2＋y2＋x－3y＝0 D．x2＋y2－x＋3y＝0 答案　A 解析　圆的圆心坐标为，半径r＝|AB|＝×＝，故圆的方程为2＋2＝.整理得x2＋y2－x－3y＝0.故选A. 3．(多选)若k∈，方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0不表示圆，则k的取值可以是(　　) A．－2 B．0 C． D．1 答案　CD 解析　若方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圆，则(k－1)2＋4k2－4k>0，解得k<或k>1，结合题意可知，若方程不表示圆，则k的取值可以是，1.故选CD. 4．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1,1) B．(－，) C．(－，) D． 答案　C 解析　∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－<m<.故选C. 5．(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0(　　) A．关于点(2,0)对称 B．关于直线y＝0对称 C．关于直线x＋3y－2＝0对称 D．关于直线x－y＋2＝0对称 答案　ABC 解析　由x2＋y2－4x－1＝0，得(x－2)2＋y2＝5，所以该圆的圆心坐标为(2,0)．圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以A正确；圆是关于直径所在的直线对称的轴对称图形，直线y＝0，x＋3y－2＝0过圆心，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以B，C正确，D不正确．故选ABC. 6．(2022·全国乙卷(理))过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为________. 答案　(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或2＋2＝或2＋(y－1)2＝ 解析　设点A(0,0)，B(4,0)，C(－1,1)，D(4,2)，圆过其中三点共有下列四种情况： ①若圆过A，B，C三点，则圆心在直线x＝2上，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝9＋(a－1)2⇒a＝3，r＝＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13. ②若圆过A，B，D三点，同①设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝4＋(a－2)2⇒a＝1，r＝＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. ③若圆过A，C，D三点，则线段AC的中垂线方程为y＝x＋1，线段AD的中垂线方程为y＝－2x＋5，联立解得所以圆心坐标为，r＝＝，所以圆的方程为2＋2＝. ④若圆过B，C，D三点，则线段BD的中垂线方程为y＝1，线段BC的中垂线方程为y＝5x－7，联立解得所以圆心坐标为，r＝＝，所以圆的方程为2＋(y－1)2＝. 考向一　求圆的方程 例1　(1)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都