第9章 第2讲 两条直线的位置关系与距离公式-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第2讲　两条直线的位置关系与距离公式 课程标准：1.能根据直线的斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 1．两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表： 位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0 (或A1C2－A2C1≠0) 垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 2.两条直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组 的解． 3．三种距离 (1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝ . (2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝. 1．三种常见的直线系方程 (1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋C0＝0(C≠C0)； (2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C0＝0； (3)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，这个直线系不包括直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，解题时，注意检验l2是否满足题意，以防漏解)． 2．四种常见的对称 (1)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)． (2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)． (3)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)． (4)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)． 3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． (2)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等． 1．点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为(　　) A．2 B． C． D． 答案　C 解析　点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝＝.故选C. 2．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 答案　A 解析　因为所求直线与直线x－2y－2＝0平行，所以设直线方程为x－2y＋c＝0，又直线经过点(1,0)，得出c＝－1，故所求直线方程为x－2y－1＝0.故选A. 3．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为(　　) A．－12 B．－2 C．0 D．10 答案　A 解析　由2m－20＝0，得m＝10.由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得10＋4p－2＝0.解得p＝－2.又因为垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上，所以2＋10＋n＝0，解得n＝－12.故选A. 4．若三条直线x＋y－3＝0，x－y＋1＝0，mx＋ny－5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(　　) A. B． C．2 D．2 答案　A 解析　联立解得∵三条直线x＋y－3＝0，x－y＋1＝0，mx＋ny－5＝0相交于同一点，∴m＋2n＝5.则点(m，n)到原点的距离的最小值为原点到直线x＋2y＝5的距离d＝＝.故选A. 5．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离为(　　) A．5 B．2 C．5 D．10 答案　C 解析　点B(2,10)关于x轴的对称点为B′(2，－10)，由对称性可得光线从A到B的距离为|AB′|＝＝5.故选C. 6．已知直线l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，若l1∥l2，则a＝________，此时l1与l2之间的距离为________. 答案　－1　 解析　由l1∥l2可知a2－1＝0，即a＝±1.又当a＝1时，l1与l2重合，不符合题意．所以a＝－1，此时l1：x－y－1＝0，l2：x－y＋1＝0.所以l1与l2的距离d＝＝. 考向一　平行与垂直问题 例1　(1)已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线