第9章 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 课程标准：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式). 1．直线的方向向量 设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量． 2．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②倾斜角的范围为0°≤α<180°. (2)直线的斜率 条件 公式 直线的倾斜角为α，且α≠90° k＝tanα 直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2 k＝ 3.直线的方向向量同斜率的关系 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 4．直线方程的五种形式 名称 条件 方程 适用范围 点斜式 斜率k与点(x0，y0) y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 斜率k与直线在y轴上的截距b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2) 截距式 直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 — Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 平面直角坐标系内的直线都适用 1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系． α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 牢记口诀： “斜率变化分两段，90°是分界线； 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”． 2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意． 3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)． 1．过点A(2,4)，B(1，m)两点的直线的一个方向向量为(－1,1)，则m＝(　　) A．－1 B．1 C．5 D．3 答案　C 解析　解法一：由题意可知＝－1，∴m＝5.故选C. 解法二：∵＝(－1，m－4)，∴m－4＝1，即m＝5.故选C. 2．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　) A. B． C． D． 答案　D 解析　由直线的方程得直线的斜率k＝－，设该直线的倾斜角为α，则tanα＝－，又α∈[0，π)，所以α＝. 3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 答案　D 解析　直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0. 4．如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　∵AC＜0，BC＜0，∴A，B同号．又直线Ax＋By＋C＝0可化为y＝－x－，－＜0，－＞0，从而直线Ax＋By＋C＝0不经过第三象限． 5．过点(5,2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是(　　) A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0 D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0 答案　B 解析　设所求直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a.①当a＝0时，所求直线经过点(5,2)和(0,0)，所以直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；②当a≠0时，设所求直线方程为＋＝1，又直线过点(5,2)，所以＋＝1，解得a＝6，所以所求直线方程为＋＝1，即2x＋y－12＝0.综上，所求直线方程为2x－5y＝0或2x＋y－12＝0.故选B. 6．(多选)(2023·唐山一中期中)设直线l：y＝xtanα＋b，其中α≠kπ＋，k∈Z且b≠0，b∈R.下列结论中正确的是(　　) A．l的斜率是tanα B．l的倾斜角是α C．l的方向向量与向量a＝(sinα，cosα)平行 D．l的法向量与向量b＝(sinα，－cosα)平行 答案　AD 解析　因为直线l：y＝xtanα＋b，其中α≠kπ＋，k∈Z，所以l的斜率是tanα，所以A正确；l的倾斜角θ满足tanθ＝tanα，但不一定有θ＝α，所以B错误；l的方向向量为(1，tanα)，因为1×cosα≠sinαtanα，所以C错误；l的法向量为(tanα，－1)，因为－1×sin