第8章 高考大题冲关系列(4) 高考中立体几何问题的热点题型-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

命题动向：立体几何是高考的重点，约占整个试卷的15%，通常以一大两小的模式命题，以中、低档难度为主．简单几何体的表面积与体积，点、线、面位置关系的判定与证明以及空间向量与空间角(特别是二面角)的计算是考查的重点内容，前者多以客观题的形式命题，后者主要以解答题的形式考查．立体几何着重考查考生的推理论证能力和空间想象能力，而且对数学运算的要求有加强的趋势．转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终． 题型1　空间位置关系的证明及空间角的计算 例1　 (2022·天津高考)直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AC⊥AB，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点． (1)求证：EF∥平面ABC； (2)求直线BE与平面CC1D夹角的正弦值； (3)求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值． 解　(1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，且AC⊥AB，则A1C1⊥A1B1．以A1为坐标原点，A1A，A1B1，A1C1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(2,0,2)，A1(0,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,2)，D(0,1,0)，E(1,0,0)，F， 则＝，易知平面ABC的一个法向量为m＝(1,0,0)，则·m＝0，故⊥m， ∵EF⊄平面ABC，故EF∥平面ABC． (2)＝(2,0,0)，＝(0,1，－2)，＝(1,2，0)， 设平面CC1D的法向量为u＝(x1，y1，z1)， 则 取y1＝2，可得u＝(0,2,1)， cos〈，u〉＝＝． 因此，直线BE与平面CC1D夹角的正弦值为． (3)＝(2,0,2)，＝(0,1,0)，设平面A1CD的法向量为v＝(x2，y2，z2)，则 取x2＝1，可得v＝(1,0，－1)，则cos〈u，v〉＝＝－＝－， 因此，平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值为． [冲关策略]　立体几何中的位置关系(平行或垂直)的证明常采用几何法，即借助线面或面面的平行(或垂直)的判定及性质定理求解；而角度的计算常采用坐标法借助向量的相关知识求解，求解的关键是坐标系的建立及相应坐标的正确书写． 变式训练1　 (2021·新高考Ⅰ卷)如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点． (1)证明：OA⊥CD； (2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E－BC－D的大小为45°，求三棱锥A－BCD的体积． 解　(1)证明：在△ABD中，因为AB＝AD，O为BD的中点，所以OA⊥BD． 因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，OA⊂平面ABD，所以OA⊥平面BCD， 又因为CD⊂平面BCD，所以OA⊥CD． (2)解法一(空间向量法)： 由题意可得CD＝1，BD＝2，∠BDC＝60°，在△BCD中，由余弦定理， 得BC＝ ＝＝． 所以CD2＋BC2＝BD2． 所以△BCD为直角三角形，且∠BCD＝90°． 以C为坐标原点，CD，CB所在直线分别为x轴、y轴，过C且垂直于平面BCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设点E在z轴上的坐标为m(m＞0)， 因为DE＝2EA，由三角形相似可得E， 又因为C(0,0,0)，B(0，，0)， 所以＝(0，－，0)，＝． 设平面BCE的法向量为n1＝(a，b，c)， 由n1·＝0，n1·＝0， 并令c＝1，得n1＝． 易得平面BCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)， 所以cos45°＝＝， 所以m＝，由相似三角形易得AO＝1， 所以VA－BCD＝S△BCD·AO＝××1××1＝． 解法二(几何法)： 如图，取OD的三等分点F，使得2OF＝DF，取BC的三等分点G，使得2CG＝BG，连接EF，FG，EG， 因为2AE＝DE，所以△AOD∽△EFD． 所以AO∥EF． 由(1)知，AO⊥平面BCD，所以EF⊥平面BCD，所以EF⊥BC，EF⊥FG， 又OD＝1， 所以OB＝1，OF＝，DF＝，BF＝， 所以2DF＝BF，所以△BCD∽△BGF． 所以GF∥CD，且GF＝CD＝． 因为OB＝OD＝OC＝1，所以BC⊥CD，BC＝． 所以GF⊥BC． 又EF⊥BC，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，EF∩GF＝F，所以BC⊥平面EFG．所以BC⊥EG． 所以∠EGF即为二面角E－BC－D的平面角， 所以∠EGF＝45°， 又EF⊥FG，所以△EFG为等腰直角三角形， 所以EF＝FG＝， 由相似三角形易得AO＝1， 所以VA－BCD＝S△BCD·AO＝××1××1＝． 题型2　立体几何中的折叠问题 例2　(2019·全国Ⅲ卷)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形