第8章 第7讲 空间向量在立体几何中的应用-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第7讲　空间向量在立体几何中的应用 课程标准：1．能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系．3．能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理．4．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 1．直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，把与a平行的非零向量称为直线l的方向向量． (2)平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量． 2．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔m·n＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔m·n＝0 3．空间向量与空间角的关系 (1)两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝． (2)直线与平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝，φ的取值范围是． (3)求二面角的大小 如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的射线，则二面角的大小θ＝〈，〉． 如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉，取值范围是[0，π]． 注：注意二面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的取值范围是[0，π]，两个平面的夹角的取值范围是． 4．向量法求空间的距离 (1)点到直线的距离 如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，则点P到直线l的距离d＝． (2)点到平面的距离 如图，A是平面α内的定点，B是平面α外一点，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝． (3)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解． 确定平面法向量的方法 (1)直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量． (2)待定系数法：取平面内的两个相交向量a，b，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，由解方程组求得． 1．(2022·浙江台州检测)已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　设直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝．∵θ∈，∴θ＝．故选A． 2．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这两个平面夹角的余弦值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　A 解析　＝，故选A． 3．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于(　　) A．4 B．2 C．3 D．1 答案　B 解析　由已知，得＝(－1，3,2)，所以点P到平面OAB的距离d＝＝＝2．故选B． 4．已知直线l过定点A(2,3,1)，且方向向量为s＝(0，1,1)，则点P(4,3,2)到l的距离为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　因为A(2,3,1)，P(4,3,2)，所以＝(2,0,1)，则||＝，|·|＝，由点到直线的距离公式得d＝＝．故选A． 5．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE与FD1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　建立如右图所示的空间直角坐标系，则O(1,1,0)，E(0，2,1)，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，∴＝(－1,0,2)，＝(－1,1,1)．∴cos〈，〉＝＝＝．故选B． 6．如图，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点．若∠PDA＝45°，则EF与平面ABCD所成角的大小是(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 答案　C 解析　设AD＝a，AB＝b，因为∠PDA＝45°，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA＝AD＝a．以点A为坐标原点，AB，AD，AP