第8章 第6讲 空间向量及其运算-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第6讲　空间向量及其运算 课程标准：1．在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置．2．借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式．3．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．4．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．5．了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．6．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示．7．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义． 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． (2)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3．两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，通常规定0≤〈a，b〉≤π． 4．数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积 ①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； ②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)； ③|a|2＝a2． (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． (3)向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 数乘 向量 λa＝(λa1，λa2，λa3) 模 |a|＝ 共线 a∥b(b≠0)⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a∥b⇔＝＝(b与三个坐标平面都不平行) 垂直 a⊥b(a≠0，b≠0)⇔a·b＝0 ⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角 公式 cos〈a，b〉＝ 1．证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P，A，B，可通过证明下列结论成立来证明三点共线： (1)＝λ(λ∈R)； (2)对空间任一点O，＝＋t(t∈R)； (3)对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)． 2．证明空间四点共面的方法 点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明＝x＋y，或对空间任一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可． 1．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　) A．2， B．－， C．－3,2 D．2,2 答案　A 解析　∵a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，∴解得或故选A． 2．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　) A．－2 B．－ C． D．2 答案　D 解析　由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2．故选D． 3． 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　＋＋＝＋＝，故选D． 4．(多选)(2023·福建宁德期末)已知a＝(1，0,1)，b＝(－1,2，－3)，c＝(2，－4,6)，则下列结论正确的是(　　) A．a⊥b B．b∥c C．〈a，c〉为钝角 D．向量c在向量a上的投影向量为(4,0,4) 答案　BD 解析　因为1×(－1)＋0×2＋1×(－3)＝－4≠0，所以a，b不垂直，A错误；因为c＝－2b，所以b∥c，B正确；因为a·c＝1×2＋0×(－4)＋1×6＝8，所以cos〈a，c〉＞0，所以〈a，c〉不是钝角，C错误；向量c在向量a上的投影向量为|c|cos〈a，c〉＝a＝(1,0,1)＝(4,0,4)，D正确．故选BD． 5．已知O是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝2x