第8章 第5讲 空间直线、平面的垂直-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第5讲　空间直线、平面的垂直 课程标准：从定义或基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，归纳出性质定理(并加以证明)及判定定理． 1．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α (3)直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β (3)平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 3．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)斜线与平面所成的角的范围：． 直线与平面所成的角的范围：． 4．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． 5．三种距离 (1)点面距 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． (2)线面距 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． (3)面面距 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，把它叫做这两个平行平面间的距离． 1．直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条． (5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 2．三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理 平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 3．三种垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直 1．若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为(　　) A．60° B．45° C．30° D．90° 答案　A 解析　斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO即是斜线段与平面α所成的角．又AB＝2BO，所以cos∠ABO＝＝，所以∠ABO＝60°．故选A． 2．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 答案　A 解析　∵PA⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A． 3．(多选)下列命题中正确的有(　　) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 答案　ABC 解析　若α⊥β，则α内至少有一条直线垂直于平面β，而非所有直线都垂直于平面β．故选ABC． 4．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CD的中点，则(　　) A．A1E⊥AD1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 答案　AC 解析　如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1，且BC1⊂平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1．又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1．又易知AD1∥BC1，所以A1E⊥AD1． 5．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O． (1)若PA＝