第8章 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 课程标准：借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，并了解基本事实和定理． 1．基本事实与推论 (1)基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．即不共线的三点确定一个平面． (2)基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． (3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．空间中直线与直线的位置关系 (1)异面直线的定义 把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)位置关系的分类 空间 直线 (3)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． (4)定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． (5)异面直线所成的角 ①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：． 3．空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系 位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 a∩α＝A 1个 平行 a∥α 0个 在平 面内 a⊂α 无数个 平面与平面 平行 α∥β 0个 相交 α∩β＝l 无数个 1．异面直线判定的一个方法 与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线． 2．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 1．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(　　) A．b⊂α B．b∥α C．b⊂α或b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α 答案　D 解析　b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．故选D． 2．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定(　　) A．与a，b都相交 B．只能与a，b中的一条相交 C．至少与a，b中的一条相交 D．与a，b都平行 答案　C 解析　由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B错误；若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据基本事实4，知a∥b，与a，b为异面直线矛盾，D错误．故选C． 3．下列说法中正确的是(　　) A．三点确定一个平面 B．四边形确定一个平面 C．梯形确定一个平面 D．空间任意两条直线确定一个平面 答案　C 解析　不共线的三点确定一个平面，故A错误；四边形有可能是空间四边形，故四边形不一定能确定一个平面，故B错误；因为梯形有一组对边平行，所以梯形确定一个平面，故C正确；两条异面直线不能确定一个平面，故D错误．故选C． 4．(2022·北京师范大学珠海分校检测)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　C 解析　如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角．由条件知，BD＝DE＝EB＝，则∠BDE＝60°．故选C． 5． (多选)如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，A，B，C三点确定的平面记为γ，则平面γ与β的交线必过(　　) A．点A B．点B C．点C D．点D 答案　CD 解析　因为AB∩l＝D，所以D∈AB．又A，B，C三点确定平面γ，所以C∈γ，D∈γ．又C，D∈β，故C，D在γ和β的交线上．故选CD． 6．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a∥c； ③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线． 上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号)． 答案　②③④ 解析　由基本事实4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行或异面，故③错误；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b不同在任何一个平面内，故④错误． 考向一　基本事实与推论的应用 例1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和