第8章 第2讲 简单几何体的表面积与体积-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第2讲　简单几何体的表面积与体积 课程标准：知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 1．多面体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和． 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积 公式 S圆柱侧＝ 2πrl S圆锥侧＝ πrl S圆台侧＝ π(r1＋r2)l 3．柱、锥、台和球的表面积和体积 名称几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 1．与体积有关的两个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a． (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝． (3)由棱柱的上下底面平行和球的对称性，可知直棱柱外接球的球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，根据勾股定理求直棱柱外接球的半径． (4)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1． 1．棱长为2的正四面体的表面积是(　　) A． B．4 C．4 D．16 答案　C 解析　每个面的面积为×2×2×＝，所以正四面体的表面积为4．故选C． 2．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为(　　) A．6 B． C．2 D．2 答案　B 解析　由正六棱锥底面边长为1和侧棱长为，可知高h＝2，又因为底面积S＝，所以体积V＝Sh＝××2＝．故选B． 3．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．12π B． C．8π D．4π 答案　A 解析　由题意，可知正方体的棱长为2，其体对角线长为2，即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π．故选A． 4．设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为(　　) A．100π B． C． D． 答案　D 解析　由题意知切面圆的半径r＝4，球心到切面圆心的距离d＝3，所以球的半径R＝＝ ＝5，故球的体积V＝πR3＝π×53＝，即该西瓜的体积为．故选D． 5．(2021·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________． 答案　39π 解析　设该圆锥的高为h，则由已知条件可得×π×62×h＝30π，解得h＝，则圆锥的母线长为 ＝＝，故该圆锥的侧面积为π×6×＝39π． 6．如图所示，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边A1B1作一个平行于棱C1C的平面A1B1EF，记平面分三棱台两部分的体积为V1(三棱柱A1B1C1－FEC)，V2，那么V1∶V2＝________． 答案　3∶4 解析　设三棱台的高为h，上底面的面积是S，则下底面的面积是4S，∴V三棱台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，又V1＝Sh，∴＝＝． 考向一　几何体的表面积 例1　(1)如图，倒置的圆锥上面放置的是一个正四棱柱，已知圆锥的底面半径为2，高为4，正四棱柱的底面边长为，高为1，则该几何体的表面积为(　　) A．(4＋4)π＋4 B．(4＋4)π＋4＋4 C．12π＋12 D．12π＋4＋4 答案　A 解析　由题意可知，该几何体的表面积S＝S圆锥表＋S正四棱柱侧．又S圆锥表＝π×2×＋π×22＝(4＋4)π，S正四棱柱侧＝4××1＝4，∴S＝(4＋4)π＋4．故选A． (2)(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(　　) A．64π B．48π C．36π D．32π 答案　A 解析　设圆O1的半径为r，球的半径为R，依题意，得πr2＝4π，∴r＝2．由正弦定理可得＝2r，∴AB＝2rsin60°＝2．∴OO1＝AB＝2．易知OO1⊥平面ABC，∴OO1⊥O1A，R＝OA＝＝＝4，∴球O的表面积S＝4πR2＝64π．故选A． (3)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积为________cm2(结果中保留π)． 答案　1100π 解析　如图所示