第7章 高考大题冲关系列(3) 高考中数列问题的热点题型-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

命题动向：等差、等比数列是重要的数列类型，高考考查的主要知识点有：等差、等比数列的概念、性质、前n项和公式．由于数列的渗透力很强，它和函数、方程、向量、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有较深的理解． 题型1　等差、等比数列的综合运算 例1　(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4． (1)证明：a1＝b1； (2)求集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中的元素个数． 解　(1)证明：设数列{an}的公差为d， 所以 解得b1＝a1＝，所以命题得证． (2)由(1)知，b1＝a1＝，所以bk＝am＋a1⇔b1×2k－1＝a1＋(m－1)d＋a1，即2k－1＝2m，亦即m＝2k－2∈[1,500]，解得2≤k≤10， 所以k＝2,3,4，…，10， 故集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中的元素个数为10－2＋1＝9． [冲关策略]　解决由等差数列、等比数列组成的综合问题，首先要根据两数列的概念，设出相应的基本量，然后充分使用通项公式、求和公式、数列的性质等确定基本量．解综合题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件． 变式训练1　在①a1＋a3＝6，a5＝9，②a1＝1,4Sn＝a＋4n－1，③a1＝2，a2a3＝2a7这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的m，t存在，求m，t的值；若问题中的m，t不存在，说明理由． 问题：已知等差数列{an}为递增数列，其前n项和为Sn，且________．在数列{an}的前20项中，是否存在两项am，at(m，t∈N*且m＜t)，使得，，成等比数列？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　设等差数列{an}的公差为d，d＞0． 若选条件①： 由得 解得a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1，n∈N*． ∵，，成等比数列，∴＝·， ∴a＝a2at，∴(2m－1)2＝3(2t－1)． ∵t≤20，∴(2m－1)2≤117． 又m∈N*，∴2m－1≤10．∴m≤5． 又(2m－1)2为3的倍数，且2m－1∈N*， ∴或 ∵m＜t，∴m＝5，t＝14． 若选条件②： ∵4Sn＝a＋4n－1，a1＝1，d＞0， ∴4＝[1＋(n－1)d]2＋4n－1． 整理，得2(n－1)2＝(n－1)2d． ∴d＝2．∴an＝2n－1，n∈N*． ∵，，成等比数列，∴＝·， ∴a＝a2at，∴(2m－1)2＝3(2t－1)． ∵t≤20，∴(2m－1)2≤117． 又m∈N*，∴2m－1≤10，∴m≤5． 又(2m－1)2为3的倍数，且2m－1∈N*， ∴或 ∵m＜t，∴m＝5，t＝14． 若选条件③： ∵a1＝2，a2a3＝2a7，d＞0， ∴(2＋d)(2＋2d)＝2(2＋6d)， 整理得d(d－3)＝0， ∴d＝3，∴an＝3n－1，n∈N*． ∵，，成等比数列， ∴＝·，∴a＝a2at， ∴(3m－1)2＝5(3t－1)． ∵t≤20，∴(3m－1)2≤295． 又m∈N*，∴3m－1≤17，∴m≤6． 又(3m－1)2为5的倍数，且3m－1∈N*， ∴m＝2，t＝2． 又m＜t，∴不存在m，t满足题意． 题型2　数列的通项与求和 例2　(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20项和． 解　(1)由已知，a1＝1，a2＝a1＋1＝2，a3＝a2＋2＝4，a4＝a3＋1＝5， 所以b1＝a2＝2，b2＝a4＝5， 因为a2n＋1＝a2n＋2＝a2n－1＋1＋2＝a2n－1＋3，即a2n＋1－a2n－1＝3， 所以数列{an}的奇数项构成以1为首项，3为公差的等差数列， 所以当n为奇数时， an＝1＋×3＝， 因为a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，即a2n＋2－a2n＝3，所以数列{an}的偶数项构成以2为首项，3为公差的等差数列， 所以当n为偶数时，an＝2＋×3＝， 而bn＝a2n＝＝3n－1，所以bn＝3n－1． (2)由(1)，知{an}的前20项和S20＝a1＋a2＋…＋a20＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)＝10×1＋×3＋10×2＋×3＝300． 所以{an}的前20项和为300． [冲关策略]　(1)求数列通项公式的常用方法有：公式法，累加、累乘法，构造法等，但总的思想是转化为特殊的数列(一般是等差或等比数列)求解． (2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有：错位相减法、分组求和法、裂项相消法等． 变式训练2