第7章 第3讲 等比数列-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第3讲　等比数列 课程标准：1．通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义．2．探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．4．体会等比数列与指数函数的关系． 1．等比数列的有关概念 (1)定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(显然q≠0)，定义的表达式为＝q(n∈N*，q≠0)． (2)等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时G2＝ab． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1． (2)前n项和公式 Sn＝ 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝amqn－m(n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则aman＝apaq＝a． (3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{anbn}，(λ≠0)仍然是等比数列． (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk． (5)a1a2a3…am，am＋1am＋2…a2m，a2m＋1a2m＋2·…·a3m，…成等比数列(m∈N*)． (6)若等比数列的项数为2n(n∈N*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则＝q． (7)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数除外． (8)等比数列{an}满足或时，{an}是递增数列；满足或时，{an}是递减数列． (9)等比数列前n项和Sn＝A＋B·Cn⇔A＋B＝0，公比q＝C(A，B，C均不为零)． (10)在等比数列中Sn＋m＝Sn＋qnSm，n，m∈N*． 1．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝(　　) A．5 B．±5 C．4 D．±4 答案　C 解析　∵a＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4．又a5＝a3q2＞0，∴a5＝4．故选C． 2．在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a2的值为(　　) A． B．－3 C．－ D．－3或 答案　D 解析　由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q－2＋q－1＋1)，得q－2＋q－1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－．∴a2＝＝或－3．故选D． 3．已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值为(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 答案　A 解析　根据等比数列的性质，得a2a4＝a，a4a6＝a，∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2．而a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，∴(a3＋a5)2＝25，∵an＞0，∴a3＋a5＝5．故选A． 4．(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　A 解析　解法一：易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7．故选A． 解法二：因为S2＝4，S4＝6，且易知公比q≠±1，所以由等比数列的前n项和公式，得两式相除，得q2＝，＝8，所以S6＝＝7．故选A． 5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________． 答案　6 解析　∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．又Sn＝126，∴＝126，解得n＝6． 6．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 答案　1,3,9或9,3,1 解析　设这三个数为，a，aq， 则解得或 ∴这三个数为1,3,9或9,3,1． 考向一　等比数列的基本运算 例1　(1)(2022·全国乙卷(理))已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14 B．12 C．6 D．3 答案　D 解析　设等比数列{an}的公比为q．由题意，得即解得q＝，a1＝96，所以a6＝a1q5＝3．故选D． (2)(2020·新高考Ⅱ卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8． ①求{an}的通项公式； ②求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1． 解　①设等比数列{an}的公比为q(q＞1)， 则 整理得2q2－5q