第7章 第2讲 等差数列-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第2讲　等差数列 课程标准：1．通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．2．探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．4．体会等差数列与一元一次函数的关系． 1．等差数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数． (2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d． (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝． 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d． (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (6)等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差数列，其公差为n2d． (7)若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S偶－S奇＝nd，＝． (8)若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)． (9)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝． (10)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)． (11)由公式Sn＝na1＋得＝a1＋d＝n＋a1－，因此数列是等差数列，首项为a1，公差为等差数列{an}公差的一半． (12)等差数列与函数的关系 ①an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数．当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列． ②Sn＝n2＋n．当d≠0时，它是关于n的二次函数．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 1．在数列{an}中，a1＝－2，an＋1－an＝2，则a5＝(　　) A．－6 B．6 C．－10 D．10 答案　B 解析　∵an＋1－an＝2，∴数列{an}是公差为2的等差数列，又a1＝－2，∴a5＝a1＋4d＝－2＋2×4＝6．故选B． 2．(2023·辽宁大连高三月考)等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d＝(　　) A． B． C．2 D．－ 答案　A 解析　∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5，又a10＝6，∴公差d＝＝＝．故选A． 3．(2022·湖北黄冈中学模拟)设Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＝5，a7＝20，则S8＝(　　) A．90 B．100 C．120 D．200 答案　B 解析　S8＝＝4(a1＋a8)＝4(a2＋a7)＝4×25＝100．故选B． 4．(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________． 答案　25 解析　设等差数列{an}的公差为d，由a1＝－2，a2＋a6＝2，可得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－2＋d＋(－2)＋5d＝2，解得d＝1．所以S10＝10×(－2)＋×1＝－20＋45＝25． 5．(2022·枣庄质检)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为________． 答案　29 解析　设项数为2n－1，则该数列的中间项为an＝S奇－S偶＝319－290＝29． 6．(2019·北京高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝__________，Sn的最小值为________． 答案　0　－10 解析　∵a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10，∴a1＝－4，d＝1，∴a5＝a1＋4d＝0，∴an＝a1＋(n－1)d＝n－5．令an＜0，则n＜5，即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后为正．∴Sn的最小值为S4＝S5＝－10． 考向一　等差数列的基本运算 例1　(1)已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1．若为等差数列，则a5＝(　　) A． B． C． D． 答案　C