第7章 第1讲 数列的概念与表示-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第1讲　数列的概念与表示 课程标准：通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表法、图象法、通项公式法)，了解数列是一种特殊函数． 1．数列的定义 按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．其中第1项也叫做首项．数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}． 2．数列的表示方法 (1)列表法 列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表： 序号n 1 2 3 … n … 项an a1 a2 a3 … an … (2)图象法 在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)． (3)数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． (4)数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式，知道了首项和递推公式，就能求出这个数列的每一项． 3．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的 大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中 n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 4．数列{an}的前n项和Sn与an的关系 (1)Sn的定义 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． (2)an与Sn的关系 an＝ 1．在数列{an}中，若an最大，则 若an最小，则 2．数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列． 3．数列通项公式的注意点 (1)并不是所有的数列都有通项公式． (2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一． (3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的． 1．在数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中，x应取(　　) A．19 B．20 C．21 D．22 答案　C 解析　由题意，可以发现，从第三项起，每一项都是前面两项的和，∴x＝8＋13＝21．故选C． 2．(多选)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项可能是(　　) A．an＝(－1)n－1＋1 B．an＝ C．an＝2sin D．an＝cos(n－1)π＋1 答案　ABD 解析　对n＝1,2,3,4进行验证，an＝2sin不符合题意，其他均符合．故选ABD． 3．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由已知，得a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝，∴a4＝＋(－1)4，a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，∴＝×＝．故选C． 4．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则＝(　　) A． B． C． D．30 答案　D 解析　∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，∴＝5×(5＋1)＝30．故选D． 5．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式为an＝________． 答案　5n＋1 解析　由a1＝6＝5×1＋1，a2＝11＝5×2＋1，a3＝16＝5×3＋1，…，归纳an＝5n＋1． 6．已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________． 答案　(－3，＋∞) 解析　由{an}是递增数列可知，an＋1＞an，即an＋1－an＝[(n＋1)2＋λ(n＋1)]－(n2＋λn)＝2n＋1＋λ＞0对任意的n∈N*恒成立．∴λ＞－(2n＋1)对任意的n∈N*恒成立，又当n∈N*时，－(2n＋1)≤－3，故λ＞－3． 考向一　由数列的前几项求数列的通项公式 例1　根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)－，，－，，…； (3)，，，，，…； (4)9,99,999,9999，…． 解　(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n；观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，故它的一个通项公式为an＝(－1)n·． (3)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，即分