第6章 第4讲 复数-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第4讲　复数 课程标准：1．通过方程的解，认识复数．2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．3．掌握复数代数表示的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 1．复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a与b分别叫做它的实部与虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi 一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi 一一对应平面向量(a，b∈R)． 3．复数的运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i． (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i． (3)乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． (4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． 1．(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)． (2)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)． 2．z＝|z|2＝||2，|z1z2|＝|z1||z2|，||＝，|zn|＝|z|n(n∈N)． 3．(1)复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数． (2)复数减法的几何意义：复数z1－z2是－＝所对应的复数． 1．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝(　　) A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i 答案　D 解析　(2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i．故选D． 2．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　) A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i 答案　D 解析　因为向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，所以向量对应的复数是－2－i，且＝＋，所以向量对应的复数是(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i．故选D． 3．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　) A．2－2i B．2＋i C．－＋i D．＋i 答案　A 解析　2i－的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i的实部为－2，所以所求的新复数是2－2i．故选A． 4．(2022·广州二模)若复数z＝是实数，则实数m＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　A 解析　∵z＝＝＝－i为实数，∴－＝0，解得m＝－1．故选A． 5．(2021·新高考Ⅱ卷)复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　＝＝＝，所以该复数在复平面内对应的点为，该点在第一象限．故选A． 6．给出下列命题： ①两个不是实数的复数不能比较大小； ②复数i－1的共轭复数是i＋1； ③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1； ④若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3． 其中假命题的序号是________． 答案　②③④ 解析　①显然为真命题；对于②，复数i－1的共轭复数是－i－1，所以该命题是假命题；对于③，若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则x2－1＝0且x2＋3x＋2≠0，所以x＝1，所以该命题是假命题；对于④，若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，可取z1＝i，z2＝0，z3＝1，z1≠z2≠z3，所以该命题是假命题． 考向一　复数的运算 例1　(1)(2022·扬州模拟)已知复数z满足3z＝|8－6i|－zi(i为虚数单位)，则＝(　　) A．i B．1＋i C．3－i D．3＋i 答案　D 解析　∵|8－6i|＝＝10，又3z＝|8－6i|－zi，∴z(3＋i)＝10，即z＝＝3－i，∴＝3＋i．故选D． (2)(多选)(2022·淄博三模)已知复数z1，z2，满足|z1||z2|≠0，下列说法正确的是(　　) A．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3 B．|z1＋z2|≤|z1|＋|z2| C．若z1z2∈R，则∈R D．|z1z2|＝|z1||z2| 答案　ABD 解析　对于A，z1z2＝z1z3，则z1(z2－z3)＝0