第6章 第3讲 平面向量的数量积及应用-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第3讲　平面向量的数量积及应用 课程标准：1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4．能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．5．能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件．6．会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 1．向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB叫做a与b的夹角 设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0≤θ≤π θ＝0或θ＝π⇔a∥b，θ＝⇔a⊥b 2．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，我们把数量|a|·|b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角． 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 3．投影与投影向量 设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到(如图)，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． 4．向量数量积的运算律 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 数乘结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 5．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cosθ＝ cosθ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量． 2．数量积不满足乘法结合律，即一般情况下，(a·b)c≠a(b·c)． 3．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝． 4．有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为a与b的夹角为0时也有a·b＞0)． (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为a与b的夹角为π时也有a·b＜0)． 1．在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，则·的值为(　　) A．20 B．－20 C．20 D．－20 答案　B 解析　由题意知〈，〉＝120°，所以·＝||||cos〈，〉＝5×8×＝－20． 2．(2023·山东泰安期末)设a，b是非零向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由a·b＝|a||b|知cos〈a，b〉＝1，所以〈a，b〉＝0，a与b同向，可推出a∥b，反之，由a∥b推不出a·b＝|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件． 3．(2022·海南省普通高中高考调研测试)已知向量a＝(0,2)，b＝(2，x)，且a与b的夹角为，则x＝(　　) A．－2 B．2 C．1 D．－1 答案　B 解析　由题意得cos＝＝＝，所以x＞0，且2x＝，解得x＝2．故选B． 4．(2022·全国乙卷(理))已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　C 解析　由题设，|a－2b|＝3，得|a|2－4a·b＋4|b|2＝9，代入|a|＝1，|b|＝，得a·b＝1．故选C． 5．(2022·海口模拟)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝2，b＝(－1，)，则a在b方向上的投影向量为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　a在b方向上的投影向量为|a|cosθ·＝2×cos×＝．故选C． 6．(2022·全国甲卷(文))已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________． 答案　－ 解析　由题意知a·b＝m＋3(m＋1)＝0，解得m＝－． 考向一　平面向量数量积的运算 例1　(1)(2022·威海三模)已知单位向量a，b满足|a－b|＝1，则a在b方向上的投影向量为(　　) A．b B．－b C．a D．－a 答案　A 解析　∵单位向量a，b满足|a－b|＝1，∴a2－2a·b＋b2＝1，∴1－2a·b＋1＝1，∴a·b＝，∴a在b方向上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·＝b＝b．故选A． (2) (202