第6章 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第2讲　平面向量基本定理及坐标表示 课程标准：1．理解平面向量基本定理及其意义．2．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算． 1．平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 2．平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0 ＝(0,0)． 3．平面向量的坐标运算 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝ ． 4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)⇔x1y2－x2y1＝0． 1．平面向量的一个基底是两个不共线向量构成的集合，平面向量基底可以有无穷多个． 2．当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例． 3．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0． 4．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为． 5．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为． 1．下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝ 答案　B 解析　两个不共线的非零向量构成一个基底，A中向量e1为零向量，C，D中两向量共线，B中e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线．故选B． 2．(2022·全国乙卷(文))已知向量a＝(2,1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　D 解析　因为a－b＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5．故选D． 3．(2022·深圳二模)已知点A(0,1)，B(2,3)，向量＝(－3,1)，则向量＝(　　) A．(1，－2) B．(－1,2) C．(1，－3) D．(－1,3) 答案　D 解析　∵A(0,1)，B(2,3)，∴＝(2,2)，∴＝＋＝(2,2)＋(－3,1)＝(－1,3)．故选D． 4．(2022·上饶一模)如图，在△ABM中，BM＝3CM，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　D 解析　＝＝(＋)＝＋×＝＋(－)＝－＋，故λ＋μ＝－＋＝．故选D． 5．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________． 答案　 解析　因为a∥b，所以2×4＝5λ，解得λ＝． 6．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________． 答案　(1,5) 解析　设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x，6－y)，即解得 考向一　平面向量基本定理的应用 例1　(2023·广东清远月考)如图所示，已知在△OBC中，A是BC的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b． (1)用a，b表示向量，； (2)若＝λ，求实数λ的值． 解　(1)依题意，A是BC的中点， ∴2＝＋， 即＝2－＝2a－b． ＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b． (2)∵＝λ， ∴＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b． ∵与共线， ∴存在实数k，使＝k， 即(λ－2)a＋b＝k， ∴解得λ＝． 　　应用平面向量基本定理表示向量的方法 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种： (1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止． (2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． 　1．如图，以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形OADB，OD，AB交于点C，＝，＝，用a，b表示，，． 解　∵＝－＝a－b， ＝＝a－b， ∴＝＋ ＝b＋＝a＋b． ∵＝a＋b，∴＝＋＝＋＝＋＝＝a＋b， ∴＝－＝a＋b－a－b＝a－