第6章 第1讲 平面向量的概念及其线性运算-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第1讲　平面向量的概念及其线性运算 课程标准：1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．2．理解平面向量的几何表示和基本要素．3．借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义．4．通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义．5．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零 向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的 单位 向量 长度等于1个单位的向量 与非零向量a共线的单位向量为± 平行 向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量) 0与任意向量平行(或共线) 相等 向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反 向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个 向量和 的运算 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) 减法 求两个 向量差 的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数 λ与向量 a的积的 运算　 |λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝ λa＋λb 3．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝．特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量． 2．在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论： (1)＋＋＝0；(2)＝(＋)；(3)＝(＋)＝(＋)． 3．＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，点O不在直线BC上，则λ＋μ＝1． 4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|． 1．(多选)(2023·山东日照月考)下列命题中错误的有(　　) A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是方向相反的向量 C．a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 答案　BC 解析　A显然正确；由相反向量的定义知B错误；任何两个向量都不能比较大小，C错误；两个向量平行不能推出这两个向量相等，而两个向量相等可以推出这两个向量平行，故D正确．故选BC． 2．设平行四边形ABCD的对角线交于点P，则下列命题中正确的个数是(　　) ①＝＋；②＝(＋)；③＝－；④＝． A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　由向量加法的平行四边形法则，知①＝＋，②＝(＋)是正确的；由向量减法的三角形法则，知③＝－是正确的；因为，的长度相等，方向相反，所以④＝是错误的．故选C． 3．如图所示，向量＝a，＝b，＝c，A，B，C三点在一条直线上，且＝－3，则(　　) A．c＝－a＋b B．c＝a－b C．c＝－a＋2b D．c＝a＋2b 答案　A 解析　∵＝－3，∴＝，∴－＝(－)，∴＝－，即c＝－a＋b．故选A． 4．已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　A 解析　由＋＋＝0，得＋＝，又O为△ABC的外接圆的圆心，根据向量加法的几何意义，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°． 5．(2022·江苏南通期末)已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为________． 答案　[2,6] 解析　当a与b方向相同时，|a－b|＝2，当a与b方向相反时，|a－b|＝6，当a与b不共线时，2＜|a－b|＜6，所以|a－b|的取值范围为[2,6]． 6．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________． 答案　－ 解析　依题意知2a－b≠0，向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，因为a，b是两个不共线向量，故a与b均不为零向量，所以解得k＝，λ＝－． 考向一　平面向量的概念 例1　(多选)(2023·山东烟台月考)给出下列命题，其中叙述错误的命题为(　　) A．向量的长度与向量的长度相等 B．向量a与b平行，则a