第5章 高考大题冲关系列(2) 高考中三角函数综合问题的热点题型-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

命题动向：三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具．高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题．对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等．备考中注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的定义相结合来寻找解题突破口． 题型1　三角函数图象与性质的综合 例1　(2022·襄阳模拟)已知函数f(x)＝sin＋2sin2－1(ω＞0)的图象相邻两对称轴间的距离为． (1)求f(x)的解析式； (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，当x∈时，求函数g(x)的值域； (3)对于(2)中的函数g(x)，记方程g(x)＝在x∈上的根从小到大依次为x1，x2，…，xn，若m＝x1＋2x2＋2x3＋…＋2xn－1＋xn，试求n与m的值． 解　(1)由题意，函数f(x)＝sin＋2sin2－1＝sin－cos＝2sin＝2sinωx． 因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为，所以T＝π，又ω＞0，可得ω＝2，故f(x)＝2sin2x． (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，可得y＝2sin的图象， 再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)＝2sin的图象． 当x∈时，4x－∈， 当4x－＝－时，函数g(x)取得最小值，为－2， 当4x－＝时，函数g(x)取得最大值，为， 故当x∈时，函数g(x)的值域为[－2，]． (3)由方程g(x)＝，即2sin＝，得sin＝， 因为x∈，所以4x－∈， 设θ＝4x－，其中θ∈，即sinθ＝，结合正弦函数y＝sinx的图象， 可得方程sinθ＝在区间有5个解，即n＝5， 其中θ1＋θ2＝3π，θ2＋θ3＝5π，θ3＋θ4＝7π，θ4＋θ5＝9π， 即4x1－＋4x2－＝3π，4x2－＋4x3－＝5π，4x3－＋4x4－＝7π，4x4－＋4x5－＝9π，解得x1＋x2＝，x2＋x3＝，x3＋x4＝，x4＋x5＝， 所以m＝x1＋2x2＋2x3＋2x4＋x5＝(x1＋x2)＋(x2＋x3)＋(x3＋x4)＋(x4＋x5)＝． 综上，n＝5，m＝． [冲关策略]　解决此类问题，一般先由图象或三角公式确定三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b等)的解析式，然后把ωx＋φ看成一个整体研究函数的性质． 变式训练1　(2022·临沂二模)在①直线x＝－是函数f(x)图象的一条对称轴；②是函数f(x)的一个零点；③函数f(x)在[a，b]上单调递增，且b－a的最大值为这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 已知函数f(x)＝2sinωxcos－(0＜ω＜2)，________，求f(x)在上的单调递减区间． 解　f(x)＝2sinωxcos－ ＝2sinωx－ ＝cosωxsinωx＋sin2ωx－ ＝sin2ωx－cos2ωx＝sin． 若选①直线x＝－是函数f(x)图象的一条对称轴，则－－＝kπ＋，k∈Z，得ω＝－3k－2，k∈Z，又0＜ω＜2，∴当k＝－1时，ω＝1，∴f(x)＝sin． 若选②是函数f(x)的一个零点， 则·2ω－＝kπ，k∈Z，得ω＝6k＋1，k∈Z． 又0＜ω＜2，∴当k＝0时，ω＝1， ∴f(x)＝sin． 若选③函数f(x)在[a，b]上单调递增，且b－a的最大值为，则T＝π＝， ∴ω＝1， ∴f(x)＝sin． 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，令k＝0，得≤x≤，令k＝－1，得－≤x≤－，又－≤x≤，∴f(x)在上的单调递减区间为，． 题型2　三角函数与解三角形的综合 例2　(2022·湖南三湘名校联考)已知函数y＝Asin(ωx＋φ) 的部分图象如图，将该函数图象向右平移个单位长度后，再把所得曲线上的点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数f(x)的图象．设g(x)＝f(x)sinx． (1)求函数g(x)的最小正周期T； (2)在△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，AD＝，设∠BAC＝θ，cosθ＜0，g(θ)＝，求△ABC的面积． 解　(1)由题图知A＝1，＝2×，解得ω＝2， 又函数图象过点， ∴2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)， ∵0＜φ＜，∴φ＝， ∴y＝sin，f(x)＝sin． ∵sinxsin＝sinx ＝＋sin2x ＝sin＋， ∴g(x)＝sin＋，∴T＝π． (2)∵g(θ)＝，∴sin＝0， ∵cosθ＜0，即＜θ＜π，∴θ＝． 设BC＝2m，AC＝x， ∵∠ADB＋∠ADC＝π， ∴cos∠ADB＋cos∠ADC＝0， ∵AB＝6，AD＝， ∴在△ADB和△ADC中， 由余弦定