第5章 第7讲 余弦定理、正弦定理应用举例-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第7讲　余弦定理、正弦定理应用举例 课程标准：能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． 1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． 2．方位角 从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角．如点B的方位角为α(如图②)． 3．方向角 相对于某一正方向的水平角，即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向，方向角小于90°)．如北偏东α，南偏西α．特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45°角称为东北方向、西南方向等． (1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)； (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向； (3)南偏西等其他方向角类似． 4．坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角(如图④，角θ为坡角)． (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比． 1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10° 答案　B 解析　由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如图．故选B． 2．如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　　) A．10 m B．5 m C．5(－1) m D．5(＋1) m 答案　D 解析　在直角三角形中，根据三角函数的定义得－＝10，解得AB＝5(＋1) m．故选D． 3．(2022·重庆模拟)一艘船航行到点B处时，测得灯塔C在其北偏东15°的方向，如图，随后该船以25海里/小时的速度，沿西北方向航行两小时后到达点A，测得灯塔C在其正东方向，此时船与灯塔C间的距离为(　　) A．25(3＋)海里 B．25(－)海里 C．25(3－)海里 D．25(3－)海里 答案　D 解析　由题意可知∠ABC＝60°，∠A＝45°，∠ACB＝75°，AB＝50海里，由正弦定理可得＝，即＝，解得AC＝25(3－)，所以此时船与灯塔C间的距离为25(3－)海里．故选D． 4．(2022·沈阳模拟)沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁(A)和临秀亭(B)两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A，B两地之间的距离，某同学任意选定了与A，B不共线的C处，构成△ABC，以下是测量数据的不同方案： ①测量∠A，AC，BC；②测量∠A，∠B，BC； ③测量∠C，AC，BC；④测量∠A，∠C，∠B． 其中一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是________． 答案　②③ 解析　解法一：对于①，由正弦定理得，＝，则sinB＝，若AC＞BC且∠A为锐角，则sinB＞sinA，此时∠B可能有两解，所以∠C有两解，AB也有两解；对于②，若已知∠A，∠B，则∠C唯一，由正弦定理知＝，所以AB唯一确定；对于③，已知∠C，AC，BC，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC，所以AB唯一确定；对于④，若已知∠A，∠C，∠B，则AB不确定． 解法二：从边和角的已知情况分析四个条件可得①SSA，②AAS，③SAS，④AAA，能判断三角形全等的只有②和③，也就是可确定三角形唯一的只有②③． 5．一艘轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C． 答案　北偏东40°　10 解析　如图，因为B在A点北偏东70°，C在B北偏东10°，故∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°， 又AB＝BC， 故∠CAB＝∠ACB＝30°， 故C在A北偏东70°－30°＝40°方向． 在△ABC中，根据余弦定理可得AC＝＝10海里．故此轮船沿着北偏东40°方向行驶10海里至海岛C． 考向一　测量距离问题 例1　 (2022·湖北宜昌月考)几千年的沧桑沉淀，凝练了黄山清幽秀丽的自然风光和文化底蕴厚重的旅游环境．自明清以来，文人雅士，群贤毕至，旅人游子，纷至沓来，使黄山成为名噪江南的旅游热点．如图，游客从黄山风景区的景点A处下山至C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A乘景区观光车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘观光车到B，在B处停留20分钟后，再从B匀速步行到C．假设观光车匀速直线运行的速度为250米/分钟，山路AC长为2340米，