第5章 第6讲 余弦定理、正弦定理-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第6讲　余弦定理、正弦定理 课程标准：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理． 1．正弦定理 条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径 内容 ＝＝＝2R 变形 (1)a＝2RsinA，b＝2RsinB， c＝2RsinC； (2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； (3)＝ 2．余弦定理 定理 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c 内容 a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC 变形 cosA＝； cosB＝； cosC＝ 3．三角形中常用的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsinA＝acsinB＝absinC． (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 1．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC； (3)sin＝cos；(4)cos＝sin． 2．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB． 3．在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况 图形 关系式 解的个数 A为锐角 a＜bsinA 无解 a＝bsinA 一解 bsinA＜a＜b 两解 a≥b 一解 A为 钝角 或直角 a＞b 一解 a≤b 无解 4．三角形中的大角对大边 在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB． 1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　) A．2 B．1 C． D． 答案　D 解析　由＝得b＝＝＝×2＝． 2．在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝60°，则c＝(　　) A．2 B． C． D． 答案　C 解析　易知c＝＝． 3．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1 B． C． D．3 答案　D 解析　解法一：由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去)．故选D． 解法二：由正弦定理＝，得sinC＝，从而cosC＝(C是锐角)，所以sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×－×＝．又＝，所以BC＝3．故选D． 4．在△ABC中，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝________． 答案　45°或135° 解析　由正弦定理得sinC＝＝＝，因为c＞b，B＝30°，所以C＝45°或C＝135°． 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为________． 答案　 解析　因为a＝3，b＝5，c＝7，所以cosC＝＝＝－，因此sinC＝，所以△ABC的面积S＝×3×5×＝． 6．在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为______________． 答案　等腰三角形或直角三角形 解析　由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形． 考向一　利用正、余弦定理解三角形 例1　(1)(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则cosB＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　∵在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝42＋32－2×4×3×＝9，∴AB＝3，∴cosB＝＝＝．故选A． (2)(2022·西安模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若A＝，cosB＝，b＝2，则a＝(　　) A． B． C．3 D． 答案　D 解析　因为A＝，cosB＝，b＝2，所以sinB＝，由正弦定理得a＝＝＝．故选D． (3)(2020·新高考Ⅰ卷)在①ac＝，②csinA＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＝sinB，C＝，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　解法一：由sinA＝sinB可得＝，不妨设a＝m，b＝m(m＞0)，则c2＝a2＋b2－2abcosC＝3m2＋m2－2·m·m·＝m2，即c＝m．