第5章 第5讲 函数y=Asin(wx+φ )的图象及应用-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 课程标准：1．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．2．会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示： ωx＋φ 0 π 2π x y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤 对函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，φ≠0，b≠0)，其图象的基本变换有： (1)振幅变换(纵向伸缩变换)：是由A的变化引起的，A＞1时伸长，A＜1时缩短． (2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的，ω＞1时缩短，ω＜1时伸长． (3)相位变换(横向平移变换)：是由φ引起的，φ＞0时左移，φ＜0时右移． (4)上下平移(纵向平移变换)：是由b引起的，b＞0时上移，b＜0时下移． 可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换． 1．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　) A．2，， B．2，， C．2，， D．2，，－ 答案　A 解析　由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为．故选A． 2．函数y＝sin在区间上的简图是(　　) 答案　A 解析　令x＝0得y＝sin＝－，排除B，D；由x＝－时，y＝0，x＝时，y＝0，排除C．故选A． 3．(2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　D 解析　因为y＝2sin3x＝2sin，所以把函数y＝2sin图象上所有的点向右平移个单位长度即可得到函数y＝2sin3x的图象．故选D． 4．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　) A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4， 答案　A 解析　由图可知，T＝＋＝，所以T＝π，ω＝＝2．因为点在图象上，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z．又－＜φ＜，所以φ＝－．故选A． 5．y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________． 答案　 解析　y＝cos(x＋1)的半个周期是π，最大值为1，最小值为－1，故由勾股定理得所求距离为＝． 6．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的4倍得到y＝sin的图象，则f(x)的解析式是________． 答案　f(x)＝sin 解析　由题意，把y＝sin的图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得y＝sin的图象，再把所得图象向右平移个单位长度，可得f(x)＝sin＝sin的图象． 考向一　“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象 例1　设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝． (1)求ω和φ的值； (2)填下表并在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象． ωx＋φ x f(x) 解　(1)由题意知T＝＝π，解得ω＝2，又f＝cos＝cos＝－sinφ＝，－＜φ＜0，解得φ＝－． (2)由(1)知，f(x)＝cos，填表如下： ωx＋φ － 0 π x 0 π f(x) 1 0 －1 0 图象如图： 　　用“五点法”作正、余弦型函数图象的步骤 (1)将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式； (2)确定周期； (3)确定一个周期内函数图象的最高点和最低点； (4)选出一个周期内与x轴的交点； (5)列表； (6)描点、连线． 　1．用“五点法”画出函数y＝sin＋cos的图象． 解　函数y＝sin＋cos＝2＝2＝2sin， 列表如下： ＋ 0 π 2π x － y 0 2 0 －2 0 描点、连线作图如下： 将函数y＝sin＋cos，x∈的图象不断向左、向右平移(每次移动4π个单位长度)，即得函数在R上的图象． 考向二　三角函数的图象变换 例2　(2021·全国乙卷)把函数y＝