第5章 第4讲 三角函数的图象与性质-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第4讲　三角函数的图象与性质 课程标准：1．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值．2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上、正切函数在上的性质． 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 单调性 在 (k∈Z)上递增； 在(k∈Z)上递减 在[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上递增； 在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上递减 在(k∈Z)上递增 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 无最值 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z 对称轴 直线x＝kπ＋，k∈Z 直线x＝kπ，k∈Z 无对称轴 最小正 周期 2π 2π π 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)和y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝．函数y＝|Asin(ωx＋φ)|，y＝|Acos(ωx＋φ)|，y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期均为T＝．函数y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均为T＝． 2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期． 3．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式． 4．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则： (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． 1．函数y＝tan的定义域是(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　y＝tan＝－tan，由x－≠＋kπ，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z．故选D． 2．函数y＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致图象是(　　) 答案　B 解析　当x＝0时，y＝1；当x＝时，y＝0；当x＝π时，y＝1；当x＝时，y＝2；当x＝2π时，y＝1．结合正弦函数的图象可知B正确．故选B． 3．下列函数中，最小正周期为2π的奇函数为(　　) A．y＝sincos B．y＝sin2x C．y＝tan2x D．y＝sin2x＋cos2x 答案　A 解析　y＝sin2x为偶函数；y＝tan2x的最小正周期为；y＝sin2x＋cos2x为非奇非偶函数，故B，C，D都不正确．故选A． 4．(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin单调递增的区间是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z．取k＝0，则－≤x≤．因为，所以区间是函数f(x)的单调递增区间．故选A． 5．函数f(x)＝cos的图象的对称轴方程为________，对称中心的坐标为________． 答案　x＝－＋(k∈Z)　(k∈Z) 解析　令2x＋＝kπ(k∈Z)，解得对称轴方程为x＝－＋(k∈Z)；函数f(x)的对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以对称中心的坐标为(k∈Z)． 6．y＝3sin在区间上的值域是________． 答案　 解析　当x∈时，2x－∈，sin∈，故3sin∈，即y＝3sin在区间上的值域为． 考向一　三角函数的定义域和值域 例1　(1)函数y＝lg sin2x＋的定义域为________． 答案　∪ 解析　由得∴－3≤x＜－或0＜x＜．∴函数y＝lg sin2x＋的定义域为∪． (2)(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sin－3cosx的最小值为________． 答案　－4 解析　∵f(x)＝sin－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1＝－22＋，－1≤cosx≤1，∴当cosx＝1时，f(x)有最小值－4．