第5章 第3讲 第2课时 简单的三角恒等变换-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第2课时　简单的三角恒等变换 考向一　三角函数式的化简 例1　(1)已知0＜θ＜π，则 ＝________． 答案　－cosθ 解析　由θ∈(0，π)得0＜＜， 所以cos＞0， 所以＝＝2cos． 又(1＋sinθ＋cosθ) ＝ ＝2cos＝－2coscosθ． 故原式＝＝－cosθ． (2)化简：①－tan ； ②－2cos(α＋β)． 解　①原式＝－ 1＋· ＝· ＝·＝． ②原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝． 　　三角函数式化简的常用方法 (1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数． (2)异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式、切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一． (3)异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次． 　1．化简：· ＝________． 答案　 解析　原式＝tan(90°－2α)·＝·＝·＝． 2．化简：＝________． 答案　cos2x 解析　原式＝ ＝＝＝＝cos2x． 多角度探究突破 考向二　三角函数式的求值 角度　　给角求值 例2　(1)求值：＝(　　) A．1 B．2 C． D． 答案　C 解析　原式＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝． (2)求值：＝________． 答案　－4 解析　原式＝ ＝ ＝ ＝＝－4． 　　该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值． 　3．(2023·扬州高三开学考试)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　B 解析　＝ ＝ ＝．故选B． 4．(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan44°)的值为(　　) A．222 B．223 C．211 D．212 答案　A 解析　由tan1°＋tan44°＝1－tan1°tan44°，得(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°tan44°＝1＋1－tan1°tan44°＋tan1°tan44°＝2．所以(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)·…·(1＋tan44°)＝222．故选A． 角度　　给值求值 例3　(1)(2023·湖南新高考联盟第二次联考)设sin20°＝m，cos20°＝n，化简－＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　A 解析　因为sin20°＝m，cos20°＝n，所以－＝－＝－＝－＝－＝＝．故选A． (2)(2023·辽宁沈阳摸底)已知cos＝，θ∈，则sin＝________． 答案　 解析　由题意可得cos2＝＝，cos＝－sin2θ＝－，即sin2θ＝．因为cos＝＞0，θ∈，所以0＜θ＜，2θ∈，根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝，由两角差的正弦公式，可得sin＝sin2θcos－cos2θsin＝×－×＝． 　　给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来． 　5．(2022·辽宁省本溪满族自治县高级中学模拟)数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则＝(　　) A．4 B．＋1 C．2 D．－1 答案　C 解析　由题意可知2sin18°＝m＝，所以m2＝4sin218°．则 ＝＝ ＝＝2． 6．(2022·青岛一模)已知α∈，若tan＝2，则sinα＝________． 答案　 解析　设θ＝α＋，则α＝θ－，＜θ＜，tanθ＝2，则＜θ＜，设θ的终边上的点P(1,2)，则sinθ＝＝，cosθ＝＝，则sinα＝sin＝(sinθ－cosθ)＝×＝． 角度　　给值求角 例4　(1)(2022·常州模拟)已知cosα＝，sin(β－α)＝－，α，β均为锐角，则β＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　因为cosα＝，sin(β－α)＝－＜0，α，β均为锐角，所以sinα＝＝，β－α∈，可得cos(β－α)＝ ＝，sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝－×＋×＝，则β＝．故选C． (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β的值为________． 答案　－ 解析　∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝ ＝＝＞0，∴0＜α＜．又tan2α＝＝＝＞0，∴0＜2α＜，∴tan(2α－β)＝＝＝1．∵tanβ＝－＜0，∴＜β＜π，∴－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－． 　　通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时应遵循的原则 (1)已知正切函数值，则选正切函数．