第5章 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式 课程标准：1．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式．2．理解同角三角函数的基本关系式sin2x＋cos2x＝1，＝tanx． 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：＝tanα． 2．六组诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tanα tanα －tanα －tanα － － 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变， 符号看象限 同角三角函数基本关系式的常用变形 (sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα； (sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2； (sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα； sinα＝tanαcosα； sin2α＝＝； cos2α＝＝． 1．若cosα＝，α∈，则tanα＝(　　) A．－ B． C．－2 D．2 答案　C 解析　由已知得sinα＝－＝－＝－，所以tanα＝＝－2．故选C． 2．(2022·大同模拟)若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是(　　) A．－4 B．±4 C． D．4 答案　A 解析　∵tan600°＝＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝，∴a＝－4．故选A． 3．已知cos31°＝a，则sin239°tan149°的值为(　　) A． B． C． D．－ 答案　B 解析　sin239°tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos31°(－tan31°)＝sin31°＝． 4．(2022·泰安三模)已知tanθ＝2，则＝________． 答案　－2 解析　∵tanθ＝2，∴＝＝－tanθ＝－2． 5．(2022·威海三模)已知α∈，tanα＝2，则cosα＝________． 答案　 解析　∵α∈，∴sinα＞0，cosα＞0，∵tanα＝2＝，sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝． 6．化简sin(α－π)cos(2π－α)的结果为________． 答案　－sin2α 解析　原式＝(－sinα)cosα＝－sin2α． 考向一　诱导公式的应用 例1　(1)(2022·咸阳模拟)已知角α终边上一点P(sin1180°，cos1180°)，那么cos(3α＋60°)＝(　　) A．0 B． C．1 D． 答案　D 解析　∵|OP|＝＝1，∴sinα＝cos1180°＝cos(100°＋3×360°)＝cos100°＝－sin10°＝sin(－10°)，cosα＝sin1180°＝sin(100°＋3×360°)＝sin100°＝cos10°＝cos(－10°)，∴α＝－10°＋k·360°(k∈Z)，cos(3α＋60°)＝cos(－30°＋3k·360°＋60°)＝cos30°＝．故选D． (2)化简：＝________． 答案　－1 解析　原式＝ ＝＝ ＝－＝－·＝－1． (3)已知cos(75°＋α)＝，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________． 答案　－ 解析　因为cos(75°＋α)＝＞0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角， sin(75°＋α)＝－＝－． 所以sin(195°－α)＋cos(α－15°) ＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α) ＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α) ＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α) ＝－－＝－． 1．诱导公式的两个应用方向与原则 (1)求值．化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简．化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα． 　1．(2022·江西宜春中学诊断)若α为锐角，且cos＝，则cos的值为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　∵0＜α＜，∴＜α＋＜，∴sin＝＝，∴cos＝cos＝sin＝．故选A． 2．计算：sin(－1200°)cos1290°＝________． 答案　 解析　原式＝－sin1200°cos1290°＝－sin(3