第5章 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数 课程标准：1．了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．2．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 1．角的概念 (1)任意角 ①一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角． ②如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角． (2)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角． (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度的定义和公式 (1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位记作rad． (2)弧度与角度的换算：360°＝2π弧度； 180°＝π rad 1°＝ rad 1 rad＝° (3)公式 ①弧长公式：l＝|α|r． ②扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2． 说明：公式中的α必须为弧度制！ 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)． (2)三角函数值在各象限内的符号 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 1．任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)． 2．象限角 3．轴线角 4．重要结论 若α∈，则tanα＞α＞sinα． 1.67°30′化为弧度是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　67°30′＝67.5×＝．故选A． 2．(多选)下列说法正确的是(　　) A．－400°是第四象限角 B．60°角与600°角是终边相同的角 C．钝角一定是第二象限角 D．将表的分针拨慢10 min，则分针转过的角的弧度数为 答案　ACD 解析　对于A，－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故A正确；对于B，因为600°≠k·360°＋60°，k∈Z，所以60°角与600°角终边不同，故B错误；对于C，因为钝角的范围为，所以钝角是第二象限角，故C正确；对于D，分针拨慢10 min，则分针转过的角的弧度数为×2π＝，故D正确．故选ACD． 3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 答案　C 解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确． 4．若sinθcosθ＜0，则角θ是(　　) A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第二或第四象限角 答案　D 解析　因为sinθcosθ＜0，所以或所以角θ是第二或第四象限角．故选D． 5．(2022·湖南常德月考)若角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－1，2)，则sinα－cosα＋tanα＝________． 答案　 解析　由已知得r＝＝，所以sinα－cosα＋tanα＝－＋＝－＋＝－2＝． 6．(2023·福州摸底)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________． 答案　 解析　由圆的几何性质可知，圆内接正方形的边长为r，故弧长为r的弧所对的圆心角的弧度数为． 考向一　角的概念及表示 例1　(1)(2022·赤峰模拟)若角α的终边与240°角的终边相同，则的终边所在象限是(　　) A．第二或第四象限 B．第二或第三象限 C．第一或第四象限 D．第三或第四象限 答案　A 解析　由已知得α＝k·360°＋240°，k∈Z．所以＝k·180°＋120°，k∈Z．所以的终边所在象限是第二或第四象限． (2)(2022·合肥模拟)若角α与β的终边关于x轴对称，则有(　　) A．α＋β＝90° B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z C．α＋β＝k·360°，k∈Z D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z 答案　C 解析　因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝k·360°－α，k∈Z．所以α＋β＝k·360°，k∈Z． (3)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． 答案　 解析　如图，在平面直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它的倾斜角是，在[0,2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个，分别为，；在[－2π，0)内满足条件的角有两个，分别为－，－．故满足条件的角α构成的集合为． 1．终边相同角的集合的应用 利用终边相同的角的集合可以求