第4章 第4讲 第3课时 利用导数研究函数的零点问题-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第3课时　利用导数研究函数的零点问题 考向一　判断函数零点或方程根的个数问题 例1　(2022·新高考Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝ex－x，g(x)＝x－ln x． (1)判断直线y＝b与曲线y＝f(x)和y＝g(x)的交点分别有几个； (2)证明：曲线y＝f(x)和y＝g(x)有且只有一个公共点； (3)证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 解　(1)设S(x)＝ex－x－b，S′(x)＝ex－1， 当x＜0时，S′(x)＜0，当x＞0时，S′(x)＞0， 故S(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数， 所以S(x)min＝S(0)＝1－b． 当b＜1时，S(x)min＝1－b＞0，S(x)无零点； 当b＝1时，S(x)min＝1－b＝0，S(x)有1个零点； 当b＞1时，S(x)min＝1－b＜0， 而S(－b)＝e－b＞0，S(b)＝eb－2b， 设u(b)＝eb－2b，其中b＞1，则u′(b)＝eb－2＞0， 故u(b)在(1，＋∞)上为增函数，故u(b)＞u(1)＝e－2＞0， 故S(b)＞0，故S(x)＝ex－x－b有两个不同的零点． 设T(x)＝x－ln x－b，T′(x)＝， 当0＜x＜1时，T′(x)＜0，当x＞1时，T′(x)＞0， 故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数， 所以T(x)min＝T(1)＝1－b． 当b＜1时，T(x)min＝1－b＞0，T(x)无零点； 当b＝1时，T(x)min＝1－b＝0，T(x)有1个零点； 当b＞1时，T(x)min＝1－b＜0， 而T(e－b)＝e－b＞0，T(eb)＝eb－2b＞0， 所以T(x)＝x－ln x－b有两个不同的零点． 综上可知，当b＜1时，直线y＝b与曲线y＝f(x)和y＝g(x)的交点个数都是0； 当b＝1时，直线y＝b与曲线y＝f(x)和y＝g(x)的交点个数都是1； 当b＞1时，直线y＝b与曲线y＝f(x)和y＝g(x)的交点个数都是2． (2)证明：由f(x)＝g(x)得ex－x＝x－ln x，即ex＋ln x－2x＝0， 设h(x)＝ex＋ln x－2x，其中x＞0，故h′(x)＝ex＋－2， 设s(x)＝ex－x－1，x＞0，则s′(x)＝ex－1＞0， 故s(x)在(0，＋∞)上为增函数， 故s(x)＞s(0)＝0，即ex＞x＋1， 所以h′(x)＞x＋－1≥2－1＞0， 所以h(x)在(0，＋∞)上为增函数， 而h(1)＝e－2＞0，h＝e－3－＜e－3－＜0， 故h(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点x0，且＜x0＜1， 当0＜x＜x0时，h(x)＜0，即ex－x＜x－ln x，即f(x)＜g(x)， 当x＞x0时，h(x)＞0，即ex－x＞x－ln x，即f(x)＞g(x)， 所以曲线y＝f(x)和y＝g(x)有且只有一个公共点． (3)证明：由(2)知，若存在直线y＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)有三个不同的交点， 则b＝f(x0)＝g(x0)＞1， 此时ex－x＝b有两个不同的解x1，x0(x1＜0＜x0)，x－ln x＝b有两个不同的解x0，x2(0＜x0＜1＜x2)， 故 ex1－x1＝b，ex0－ x0＝b，x2－ln x2－b＝0，x0－ln x0－b＝0， 所以x2－b＝ln x2，即ex2－b＝x2，即ex2－b－(x2－b)－b＝0， 故x2－b为方程ex－x＝b的解，同理x0－b也为方程ex－x＝b的解， 所以{x1，x0}＝{x0－b，x2－b}，而b＞1，故即x1＋x2＝2x0． 　　利用导数确定函数零点或方程根的个数的常用方法 (1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义域区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数． (2)利用函数零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 　1．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.71828…． (1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1,2)上有零点； (2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由． 解　(1)证明：由题意可得h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x， 所以h(1)＝e－3＜0，h(2)＝e2－3－＞0， 所以h(1)h(2)＜0， 所以函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1,2)上有零点． (2)由(1)可