第4章 第1讲 导数的概念及运算-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第1讲　导数的概念及运算 课程标准：1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限思想．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数．5．会使用导数公式表． 1．导数的概念 (1)平均变化率：对于函数y＝f(x)，把比值＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． (2)瞬时变化率：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ ． (3)当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，即y′＝f′(x)＝ ． 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k0＝f′(x0)，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函数的导数公式 (1)c′＝0(c为常数)． (2)(xα)′＝αxα－1(α∈R，且α≠0)． (3)(sinx)′＝cosx． (4)(cosx)′＝－sinx． (5)(ax)′＝axln a(a＞0，且a≠1)． (6)(ex)′＝ex． (7)(logax)′＝(a＞0，且a≠1)． (8)(ln x)′＝． 4．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． 特别地：[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)． (3)′＝(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1．(1)′＝－． (2)′＝－(f(x)≠0)． 2．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数． 3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其绝对值的大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 4．两类切线问题的区别 (1)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点． (2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 1．下列求导运算正确的是(　　) A．(sina)′＝cosa(a为常数) B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3xlog3e D．()′＝ 答案　B 解析　由a为常数知(sina)′＝0，A错误；(log2x)′＝，B正确；(3x)′＝3xln 3，C错误；()′＝[(x＋1)]′＝(x＋1)－＝，D错误．故选B． 2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为(　　) A．9.1米/秒 B．6.75米/秒 C．3.1米/秒 D．2.75米/秒 答案　C 解析　因为h′(t)＝－9.8t＋8，所以h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1，所以此运动员在0.5秒时的瞬时速度为3.1米/秒． 3．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 ＝________． 答案　－2 解析　由导数的概念和几何意义知， ＝f′(1)＝kAB＝＝－2． 4．(2022·武汉检测)设f(x)＝ln (3－2x)＋cos2x，则f′(0)＝________． 答案　－ 解析　因为f′(x)＝－－2sin2x，所以f′(0)＝－． 5．(2021·全国甲卷)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________． 答案　5x－y＋2＝0 解析　因为y′＝＝，所以曲线y＝在点(－1，－3)处的切线的斜率k＝5，故所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0． 6．已知直线y＝kx是曲线y＝ex