第3章 第6讲 对数与对数函数-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第6讲　对数与对数函数 课程标准：1．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．2．通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1)． 1．对数的定义 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的运算法则 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN， (2)loga＝logaM－logaN， (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 3．对数函数的定义 函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量． 4．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图 象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 定点 过点(1,0) 单调性 增函数 减函数 函数值 正负 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 5．反函数 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 1．对数的性质(a＞0，且a≠1) (1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)alogaN＝N． 2．换底公式及其推论 (1)logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)； (2)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)； (3)logambn＝logab； (4)logab·logbc·logcd＝logad． 3．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0＜c＜d＜1＜a＜b．由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x B． C．logx D．2x－2 答案　A 解析　由题意知f(x)＝logax(x＞0)．∵f(2)＝1，∴loga2＝1．∴a＝2．∴f(x)＝log2x． 2．(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由alog34＝2可得log34a＝2，所以4a＝9，所以4－a＝．故选B． 3．(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是　　(　　) A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 答案　C 解析　a＝log52＜log5＝＝log82＜log83＝b，即a＜c＜b．故选C． 4．函数f(x)＝loga(x＋2)－2(a＞0，且a≠1)的图象必过定点__________． 答案　(－1，－2) 解析　由loga1＝0(a＞0，且a≠1)知，f(－1)＝loga(－1＋2)－2＝0－2＝－2，所以函数f(x)的图象必过定点(－1，－2)． 5．计算：log23×log34＋()log34＝__________． 答案　4 解析　log23×log34＋()log34＝×＋3log34＝2＋3log32＝2＋2＝4． 6．函数y＝ 的定义域是__________． 答案　 解析　由log (2x－1)≥0得log (2x－1)≥log1，所以0＜2x－1≤1，解得＜x≤1．故函数y＝的定义域为． 考向一　对数的化简与求值　　　　 例1　(1)(多选)下列运算错误的是(　　) A．2log10＋log0.25＝2 B．log427×log258×log95＝ C．lg 2＋lg 50＝10 D．log(2＋)(2－)－(log2)2＝－ 答案　ABC 解析　对于A,2log10＋log0.25＝log (102×0.25)＝log52＝－2，A错误；对于B，log427×log258×log95＝××＝＝，B错误；对于C，lg 2＋lg 50＝lg 100＝2，C错误；对于D，log(2＋)(2－)－(log2)2＝－1－2＝－，D正确．故选ABC． (2)(2022·潍坊一模)已知函数f(x)＝则f(－1)＋f(log312)＝__________． 答案　7 解析　根据题意，函数f(x)＝则f(－1)＝2＋log22＝3，f(log312)＝3－1＋log312＝3log34＝4，则f(－1)＋f(log312)＝7． (3)(2022·武进区校级模拟)十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事