第3章 第5讲 指数与指数函数-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第5讲　指数与指数函数 课程标准：1．通过对有理数指数幂a(a＞0，且a≠1，m，n为整数，且n＞0)、实数指数幂ax(a＞0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．2．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．3．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 1．根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 — n＞1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次 方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± (a＞0) 负数没有 偶次方根 2．分数指数幂 (1)a＝ (a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 4．指数函数的概念 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数． 说明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数． 5．指数函数的图象和性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x＞0时，恒有y＞1; 当x＜0时，恒有0＜y＜1 当x＞0时，恒有0＜y＜1； 当x＜0时，恒有y＞1 增函数 减函数 1．()n＝a(n∈N*且n＞1)． 2．＝ 3．底数对函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的函数值的影响如图(a1＞a2＞a3＞a4)，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高． 4．当a＞0，且a≠1时，函数y＝ax与函数y＝x的图象关于y轴对称． 1．化简[(－2)6] －(－1)0的结果为(　　) A．－9 B．7 C．－10 D．9 答案　B 解析　[(－2)6] －(－1)0＝(26) －1＝7． 2．化简 (x＜0，y＜0)得(　　) A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y 答案　D 解析　因为x＜0，y＜0，所以＝＝|2x2y|＝－2x2y． 3．(2023·安徽蒙城月考)已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　y＝ax＋b的图象如图．由图象可知，y＝ax＋b的图象必定不经过第一象限． 4．函数f(x)＝ax－2022＋2022(a＞0，且a≠1)的图象过定点A，则点A的坐标为__________． 答案　(2022,2023) 解析　令x－2022＝0，得x＝2022，又f(2022)＝2023，故点A的坐标为(2022,2023)． 5．设a＝0.993.3，b＝0.994.5，c＝1.10.99，则a，b，c的大小关系为__________． 答案　b＜a＜c 解析　因为函数y＝0.99x在R上单调递减，所以0.993.3＞0.994.5，即a＞b，又因为0.993.3＜0.990＝1,1.10.99＞1.10＝1，所以0.993.3＜1.10.99，即a＜c．综上可知，b＜a＜c． 6．已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为__________． 答案　或 解析　当0＜a＜1时，a－a2＝，∴a＝或a＝0(舍去)；当a＞1时，a2－a＝，∴a＝或a＝0(舍去)．综上所述，a＝或． 考向一　指数幂的运算　　　　 例1　求值与化简： (1)8×100－×－3×－； (2)(a＞0，b＞0)； (3)÷(a＞0)； (4)已知a＞0，a＋a－＝3，求的值． 解　(1)原式＝(23) ×(102)－×(2－2)－3×－＝22×10－1×26×－3＝． (2)原式＝＝a－－－b＋－＝． (3)原式＝(aa－)÷(a－a)＝(a3)÷(a2)＝a÷a＝1． (4)将a＋a－＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9， 所以a＋a－1＝7． 将a＋a－1＝7两边平方， 得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47， 所以＝＝6． 　　指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假