第3章 第4讲 幂函数与二次函数-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第4讲　幂函数与二次函数 课程标准：通过具体实例，结合y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 1．幂函数 (1)定义：函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义． ②当α＞0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增． ③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增； 在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 1．幂函数图象的特征 (1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴(简记为“指大图低”)． (2)在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． (3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 3．一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a＞0且Δ＜0”． (2)“ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a＜0且Δ＜0”． 4．二次函数图象的对称轴 二次函数y＝f(x)对定义域内的所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)． 5．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况 (1)若－∈[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝f． (2)若－∉[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}． 另外，当二次函数图象开口向上时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数图象开口向下时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越小． 1．(2022·日照三模)已知幂函数f(x)＝xa的图象经过点(2,4)，则f(－3)＝(　　) A．－9 B．9 C．3 D．－3 答案　B 解析　因为幂函数f(x)＝xa的图象经过点(2,4)，所以2a＝4，a＝2，所以f(x)＝x2，所以f(－3)＝(－3)2＝9．故选B． 2．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上(　　) A．是增函数 B．是减函数 C．先减再增 D．先增再减 答案　B 解析　∵函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a＜0，b＜0，则y＝ax2＋bx的图象开口向下，对称轴为直线x＝－＜0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是减函数． 3．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域是__________． 答案　[－1,3] 解析　∵g(x)＝(x－1)2－1，∴g(x)min＝g(1)＝－1，g(x)max＝g(3)＝3．∴所求值域为[－1,3]． 4．已知α∈．若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α＝__________． 答案　－1 解析　∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递减，∴α＜0，故α＝－1． 5．已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数f(x)的解析式为__________． 答案　f(x)＝x2－4x 解析　因为y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，所以可设f(x)＝a(x－2)2－4(a＞0)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，解得a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x． 6．若(a＋1)＜(3－2a)，则实数a的取值范围是__________． 答案　 解析　易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以解得－1≤a＜． 考向一　幂函数的图象与性质 例1　(1)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为(　　) A．－3 B．1 C．2 D．1或2 答案　B 解析　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．故选B． (2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝