第3章 第2讲 函数的单调性与最值-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第2讲　函数的单调性与最值 课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 1．函数的单调性 (1)定义 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I．∀x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 增(减) 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数 (2)单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 1．若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数． 2．当a＞0(＜0)时，f(x)与af(x)具有相同(反)的单调性． 3．设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 ①x1－x2＞0(＜0)，f(x1)－f(x2)＞0(＜0)⇔f(x)在D上单调递增；x1－x2＞0(＜0)，f(x1)－f(x2)＜0(＞0)⇔f(x)在D上单调递减； ②＞0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0)⇔f(x)在D上单调递增； ③＜0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0)⇔f(x)在D上单调递减． 4．对勾函数y＝x＋(a＞0)的单调递增区间为(－∞，－]和[，＋∞)；单调递减区间为[－，0)和(0，]，且对勾函数为奇函数． 1．(多选)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．y＝－ B．y＝x C．y＝2－x D．y＝log(x＋1) 答案　AB 解析　对于A，y＝－在(－1，＋∞)上单调递增，符合题意；对于B，y＝x在R上单调递增，符合题意；对于C，y＝2－x＝x在R上单调递减，不符合题意；对于D，y＝log(x＋1)在(－1，＋∞)上单调递减，不符合题意． 2．如图是函数y＝f(x)，x∈[－4,3]的图象，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1,3]上单调递增 B．f(x)在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2 C．f(x)在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3 D．当直线y＝t与f(x)的图象有三个交点时－1＜t＜2 答案　C 解析　由已知得，f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，A错误；f(x)在区间(－1，3)上的最大值为3，无最小值，B错误；C正确；当直线y＝t与f(x)的图象有三个交点时－1≤t≤2，D错误． 3．(2022·泉州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，设甲：f(x)在[0,2]上单调递增，乙：f(x)满足f(1)＜f(2)，则甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若函数f(x)的定义域为R，f(x)在[0,2]上单调递增，则f(x)满足f(1)＜f(2)，所以甲是乙的充分条件；因为f(x)仅满足f(1)＜f(2)，并不满足单调性定义中的“任意性”要求，所以f(x)在[0,2]上不一定单调递增，故甲不是乙的必要条件．综上所述，甲是乙的充分不必要条件．故选A． 4．已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为__________，最小值为__________． 答案　2　 解析　可判断函数f(x)＝在区间[2,6]上单调递减，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝． 5．函数y＝－2x2－4ax＋3在区间[－4，－2]上具有单调性，则a的取值范围是__________． 答案　(－∞，2]∪[4，＋∞) 解析　函数y＝－2x2－4ax＋3的图象的对称轴为直线x＝－a，由题意可得－a≤－4或－a≥－2，解得a≤2或a≥4．故a的取值范围是(－∞，2]∪[4，＋∞)． 多角度探究突破 考向一　确定函数的单调性(单调区间) 角度　　图象法、性质法确定函数的单调性 例1　(1)(2022·湖南雅礼中学二模)下列函数中，在R上为增函数的是(　　) A．y＝tanx B．y＝x2 C．y