第2章 第3讲 一元二次不等式的解法-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第3讲　一元二次不等式的解法 课程标准：1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．2．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．3．能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．4．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 1．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． (2)计算相应的判别式． (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 1．一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)． (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)． 2．解高次不等式 (1)基本思路：先因式分解，再用穿根法．注意因式分解后，整理成每个因式中未知数的系数为正的形式． (2)穿根法的一般步骤：第一步，在数轴上标出化简后各因式的根，使等号成立的根标为实点，等号不成立的根标为虚点；第二步，自右向左、自上而下穿线，遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿)；第三步，数轴上方曲线对应区域使“＞”成立，下方曲线对应区域使“＜”成立． 如(x－1)2(x－2)(x－3)＞0在数轴上标根穿线，点1处的线过而不穿． 1．(2022·德阳模拟)设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∪B＝(　　) A．[－1,3] B．[－1,4) C．(1,3] D．(1,4) 答案　B 解析　由x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3，∴B＝{x|－1≤x≤3}．∴A∪B＝[－1,4)．故选B． 2．不等式4x2＋4x＋1≤0的解集为(　　) A．∅ B．R C． D． 答案　D 解析　因为4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2，所以4x2＋4x＋1≤0的解集为． 3．(2022·湖州模拟)设全集U＝R，集合P＝，Q＝{x|x≤4}，则P∩Q＝(　　) A．[0,1) B．[0,1] C．(－∞，0]∪(1,4] D．(－∞，0]∪[1,4] 答案　A 解析　因为集合P＝＝{x|0≤x＜1}，Q＝{x|x≤4}，所以P∩Q＝{x|0≤x＜1}＝[0,1)．故选A． 4．(2022·滨州质检)若0＜t＜1，则关于x的不等式(t－x)＞0的解集为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　因为0＜t＜1，所以t＜，所以(t－x)＞0⇔(x－t)＜0，解得t＜x＜．故选D． 5．不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值是__________． 答案　－14 解析　由题意知－，是ax2＋bx＋2＝0的两根，则解得所以a＋b＝－14． 6．(2022·安徽芜湖模拟)不等式mx2＋mx＋1＞0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是__________． 答案　[0,4) 解析　当m＝0时，显然成立；当m≠0时，由已知得解得0＜m＜4．综上，实数m的取值范围是[0,4)． 多角度探究突破 考向一　一元二次不等式的解法 角度　　不含参数的一元二次不等式 例1　解下列不等式： (1)2x2＋5x－3＜0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)9x2－6x＋1＞0； (4)x2＜6x－10． 解　(1)∵Δ＝49＞0， ∴方程2x2＋5x－3＝0有两个实数根， 解得x1＝－3，x2＝， 画出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示．由图可得原不等式的解集为． (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0． ∵Δ＝12＞0，∴方程3x2－6x＋2＝0有两个实数根，解得x1＝，x2＝，画出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为． (3)∵Δ＝0，∴方程9x2－6x＋1＝0有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝．画出函数y＝9x2－6x＋1的图象如图③所示．由图可得原不等式的解集为． (4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，∵Δ＝－4＜0，∴方程x2－6x