第2章 第2讲 基本不等式-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第2讲　基本不等式 课程标准：1．理解基本不等式 ≤(a＞0，b＞0)．2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题． 1．重要不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当a＝b时等号成立)． 2．基本不等式 ≤ (1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)， 那么当x＝y时，x＋y有最小值2．(简记：“积定和最小”) (2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)， 那么当x＝y时，xy有最大值．(简记：“和定积最大”) 1．常用的几个重要不等式 (1)a＋b≥2(a＞0，b＞0)． (2)ab≤2(a，b∈R)． (3)2≤(a，b∈R)． (4)＋≥2(a，b同号)． (5)≤ (a＞0，b＞0)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b． 2．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，当且仅当a＝b＝c时等号成立． 3．若a＞0，b＞0，c＞0，则 ≤． 4．＋≥(a，b，x，y均为正数)． 证明思路：转化为证明(a＋b)≥(x＋y)2． 1．(2022·海南调研)若x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则 的最大值为(　　) A．9 B．18 C．36 D．81 答案　A 解析　因为x＞0，y＞0，且x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故的最大值为9． 2．下列命题正确的是(　　) A．若a，b∈R，则＋≥2＝2 B．若x＞0，则x＋＞2 C．若x＜0，则x＋≥－2＝－4 D．若x∈R，则2x2＋≥2＝2 答案　D 解析　A项必须保证a，b同号；B项应含有等号，即若x＞0，则x＋≥2；C项应该为“≤”．故选D． 3．(2022·汕头月考)已知t＞0，则函数y＝的最小值为(　　) A．－2 B． C．1 D．2 答案　A 解析　y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立． 4．若a＞0，b＞0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　) A．25 B． C． D． 答案　D 解析　依题意，得ab＝×a×2b≤×2＝×2＝，当且仅当a＝2b＝时等号成立．故选D． 5．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为__________． 答案　2 解析　∵xy＝1，∴x2＋2y2≥2＝2·＝2，当且仅当x2＝2y2，xy＝1时等号成立． 6．直角边之和为12的直角三角形的面积的最大值为__________． 答案　18 解析　设直角三角形的两直角边分别为a，b，面积为S，则a＋b＝12，S＝ab≤×2＝18，当且仅当a＝b＝6时等号成立． 多角度探究突破 考向一　利用基本不等式求最值 角度　　利用配凑法求最值 例1　(1)已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a的最大值为(　　) A． B． C．2 D．2 答案　D 解析　因为4a2＋b2＝7，则a＝×(2a) ＝ ≤×＝2，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝1，b＝时，取得最大值．故选D． (2)函数y＝(x＞1)的最小值为__________． 答案　2＋2 解析　y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2，当且仅当x－1＝，即x＝＋1时等号成立． 　　通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 　1．(2022·烟台三模)当x＞0时，的最大值为__________． 答案　 解析　当x＞0时，＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，即的最大值为． 角度　　利用常数代换法求最值 例2　(1)(2022·南宁模拟)已知m＞0，n＞0，命题p：2m＋n＝mn，命题q：m＋n≥3＋2，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　因为m＞0，n＞0，由2m＋n＝mn，得＋＝1，则m＋n＝(m＋n)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当即m＝＋1，n＝2＋时取等号，因此p⇒q；因为m＞0，n＞0，由m＋n≥3＋2，可取m＝1，n＝10，则2m＋n＝12，mn＝10，此时2m＋n≠mn，因此q ⇒,/) p，所以p是q的充分不必要条件．故选A． (2)若正实数a，b满足a＋b＝4，则＋的最小值是__________． 答案　 解析　由a＋b＝4得a＋1＋b＋1＝6，所以＋＝(a＋1＋b