第2章 第1讲 不等式及其性质-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第1讲　不等式及其性质 课程标准：梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 1．比较两个实数的大小 关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b．另外，若b＞0，则有＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b． 2．不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a． (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c． (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d． (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd． (5)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)． 1．a＞b，ab＞0⇒＜． 2．a＜0＜b⇒＜． 3．a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞． 4.0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜． 5．若a＞b＞0，m＞0，则＜；＞(b－m＞0)；＞；＜(b－m＞0)． 1．(2022·葫芦岛模拟)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　) A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N 答案　A 解析　因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N．故选A． 2．如果x＋y＜0，且y＞0，那么下列不等式成立的是(　　) A．y2＞x2＞－xy B．x2＞y2＞－xy C．x2＜－xy＜y2 D．x2＞－xy＞y2 答案　D 解析　因为x＋y＜0，y＞0，所以x＜－y＜0＜y．在不等式x＜－y两边同时乘以x，得x2＞－xy．在不等式x＜－y两边同时乘以y，得xy＜－y2．则－xy＞y2．所以x2＞－xy＞y2．故选D． 3．(2022·烟台模拟)设x，y∈R，则“x＜1且y＜1”是“x＋y＜2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若x＜1且y＜1，则有x＋y＜2．又当x＝2，y＝－1时，满足x＋y＜2，但不满足x＜1且y＜1，所以“x＜1且y＜1”是“x＋y＜2”的充分不必要条件．故选A． 4．若－＜α＜β＜，则α－β的取值范围是__________． 答案　(－π，0) 解析　由已知，得－＜α＜，－＜－β＜，所以－π＜α－β＜π，又α＜β，所以α－β＜0，故－π＜α－β＜0． 5．比较两数的大小：＋__________＋． 答案　＞ 解析　因为(＋)2＝17＋2，(＋)2＝17＋2，所以(＋)2＞(＋)2，所以＋＞＋． 考向一　不等式的性质 例1　(1)若a，b都是实数，则“－＞0”是“a2－b2＞0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　－＞0⇒＞⇒a＞b≥0⇒a2＞b2，但由a2－b2＞0 ⇒,/) －＞0．故选A． (2)(多选)(2022·长沙调研)若＜＜0，则下列不等式中正确的是(　　) A．＜ B．|a|＋b＞0 C．a－＞b－ D．ln a2＞ln b2 答案　AC 解析　由＜＜0，可知b＜a＜0．对于A，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0，所以＜，故A正确；对于B，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0．故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故B错误；对于C，解法一：因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，所以a－＞b－．解法二：因为y＝x－在(－∞，0)上单调递增且b＜a＜0，所以b－＜a－，即a－＞b－，故C正确；对于D，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上单调递减，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故D错误． 　　判断不等式是否成立的两种方法 (1)性质法 直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． (2)特殊值法 适用于排除错误答案，取值应满足题设条件且便于计算． 提醒：当直接利用不等式的性质不能判断时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断． 　1．(多选)(2022·汕头二模)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式中一定成立的是(　　) A．ac(a－c)＞0 B．c(b－a)＜0 C．cb2＜ab2 D．ab＞ac 答案　BCD 解析　因为a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，所以c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b－a＞0，所以ac(a－c)＜0，c(b－a)＜0，cb2＜ab2，ab＞ac．故选BCD． 2．(多选)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为(　　) A．若a＞b，则＜ B．若a＞b，则ac2≥bc2 C．若a＞0＞b，则a2＜－ab D．若c＞a＞b＞0，则＞ 答案　BD 解析　根据