第1章 第3讲 全称量词与存在量词-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第3讲　全称量词与存在量词 课程标准：1．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．2．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．3．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 1．全称量词和存在量词 (1)全称量词有：所有的、任意一个、任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个、至少有一个、有些，用符号“∃”表示． (2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为∀x∈M，p(x)． (3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符号简记为∃x∈M，p(x)． 2．含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 1．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”． 2．常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面 词语 等于(＝) 大于(＞) 小于(＜) 是 否定 词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 正面 词语 都是 任意的 所有的 至多 有一个 至少 有一个 否定 词语 不都是 某个 某些 至少 有两个 一个 也没有 3．因为命题p与¬p的真假性相反，所以不管是全称量词命题还是存在量词命题，当其真假不易判断时，可先判断其否定的真假． 1．命题“∃x∈R，x2＝x”的否定是(　　) A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝x C．∃x∉R，x2≠x D．∀x∈R，x2≠x 答案　D 解析　存在量词命题的否定需要把存在量词改为全称量词，并否定结论．故选D． 2．(2022·厦门模拟)已知集合M，N满足M∩N≠∅，则(　　) A．∀x∈M，x∈N B．∀x∈M，x∉N C．∃x∈M，x∈N D．∃x∈M，x∉N 答案　C 解析　∵集合M，N满足M∩N≠∅，∴由交集定义得∃x∈M，x∈N．故选C． 3．(多选)(2023·重庆质检)下列命题中是真命题的有(　　) A．∃x∈R，log2x＝0 B．∃x∈R，cosx＝1.01 C．∀x∈R,2x＞0 D．∀x∈R，x2＋x＋1＞0 答案　ACD 解析　因为log21＝0，所以A为真命题；因为∀x∈R，－1≤cosx≤1，所以B为假命题；因为2x＞0，所以C为真命题；因为x2＋x＋1＝2＋＞0，所以D为真命题． 4．(2022·福建宁德质检)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1,3] B．(－1,3) C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案　D 解析　因为命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1＜0”等价于“x2＋(a－1)x＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a－1)2－4＞0，即a2－2a－3＞0，解得a＜－1或a＞3． 5．“等边三角形都是等腰三角形”的否定是__________． 答案　存在一个等边三角形，它不是等腰三角形 解析　全称量词命题的否定是存在量词命题．故命题的否定是存在一个等边三角形，它不是等腰三角形． 6．若“∃x∈[－1,2]，x2－m＞1”为假命题，则实数m的最小值为__________． 答案　3 解析　因为“∃x∈[－1,2]，x2－m＞1”为假命题，所以“∀x∈[－1,2]，x2－m≤1”为真命题，所以m≥x2－1对x∈[－1,2]恒成立，即m≥(x2－1)max＝3． 　　　　 考向一　全称量词命题、存在量词命题真假的判断 例1　(1)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是(　　) A．∀x∈R，f(－x)≠f(x) B．∀x∈R，f(－x)≠－f(x) C．∃x∈R，f(－x)≠f(x) D．∃x∈R，f(－x)≠－f(x) 答案　C 解析　∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，∴∀x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，∴∃x∈R，f(－x)≠f(x)为真命题． (2)(多选)(2022·厦门外国语学校期中)下列命题中为真命题是(　　) A．∃x∈(0，＋∞)，x＜x B．∃x∈(0,1)，logx＞logx C．∀x∈(0，＋∞)，x＞logx D．∀x∈，x＜logx 答案　BD 解析　当x＞0时，y＝x的图象永远在y＝x的图象上方，因此A是假命题；当0＜x＜1时，y＝logx的图象永远在y＝logx的图象上方，因此B是真命题；当x＝时， ＜1＝log，因此C是假命题；当0＜x＜时，logx＞1＞x，因此D是真命题．故选BD． 　　判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路 　1．(2023·江西师大附中月考)下列命题为真命题的是(　　) A．∃x∈R，ln (x2＋1)＜0