2023届上海市金山区高考二模数学试卷

2022学年第二学期质量监控 高三数学试卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） （答题请写在答题纸上） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合，集合，若，则___________． 2．若实数x满足不等式，则x的取值范围是_______________． 3．双曲线的渐近线方程是______________． 4．已知向量，向量，则与的夹角的大小为_____________． 5．在的二项展开式中，项的系数为__________（结果用数值表示）． 6．若复数（i是虚数单位），则___________． 7．已知是定义域为R的奇函数，当时，，则___． 8．掷一颗骰子，令事件，，则_______（结果用数值表示）． 9．已知正实数a、b满足，则的最小值为___________． 10．若函数（常数）在区间没有最值，则的取值范围是____． 11．已知函数和的表达式分别为，，若对任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是____． 12．已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为____________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．若实数a、b满足，则下列不等式中成立的是（ ）． （A） （B） （C） （D） 14．某社区通过公益讲座宣传交通法规．为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分．他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（ ）． （A）讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分 （B）讲座前的答卷得分分布较讲座后分散 （C）讲座后答卷得分的第80百分位数为95 （D）讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差 15．如图，在矩形ABCD中，E、F分别为边AD、BC上的点，且，，设P、Q分别为线段AF、CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能恒成立的是（ ）． （A）直线直线CD （B）直线直线ED （C）直线直线PQ （D）直线平面ADE 16．设是项数为的有穷数列，其中．当时，，且对任意正整数都有．给出下列两个命题：①若对任意正整数都有，则的最大值为18；②对于任意满足的正整数s和t，总存在不超过的正整数m和k，使得．下列说法正确的是（ ）． （A）①是真命题，②是假命题 （B）①是假命题，②是真命题 （C）①和②都是真命题 （D）①和②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在△ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知，． （1）若，求c； （2）若，求△ABC的面积． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在正三棱柱中，已知，D是AB的中点． （1）求直线与所成的角的大小； （2）求证：平面⊥平面，并求点B到平面的距离． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某网站计划4月份订购草莓在网络销售，每天的进货量相同，成本价为每盒15元．决定每盒售价为20元，未售出的草莓降价处理，每盒10元．假设当天进货能全部售完．根据销售经验，每天的购买量与网站每天的浏览量（单位：万次）有关．为确定草莓的进货量，相关人员统计了前两年4月份（共60天）网站每天的浏览量（单位：万次）、购买草莓的数量（单位：盒）以及达到该流量的天数，如下表所示： 每天的浏览量 每天的购买量 600 900 天数 36 24 以每天的浏览量位于各区间的频率代替浏览量位于该区间的概率． （1）求4月份草莓一天的购买量X（单位：盒）的分布； （2）设4月份销售草莓一天的利润为Y（单位：元），一天的进货量为n（单位：盒），n为正整数且，当n为多少时，Y的期望达到最大值，并求此最大值． 20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知椭圆：（）． （1）已知椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程； （2）已知直线l过椭圆的右焦点且垂直于x轴，记l与的交点分别为A、B，A、B两点关于y轴的对称点分别为、，若四边形是正方形，求正方形的内切圆的方程； （3）设O为坐标原点，P、Q两点都在椭圆上，若△OPQ是等腰直角三角形