4.1.1解三角形边角转化-高中数学题型分类汇总大全（2023版）

1.解三角形边角转化 1．（新疆乌鲁木齐地区2023届高三二模数学（文）试题）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，点D在边BC上，且，则线段AD长度的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换求出，再借助平面向量运算及均值不等式求解作答. 【详解】在中，由及正弦定理得：， 则，整理得， 而，于是，两边平方得：， 而，，解得，因为点D在边BC上，且， 有，因此， 从而 ，当且仅当时取等号， 所以当时，线段AD的长度取得最小值. 故选：B 【点睛】思路点睛：求三角形中线段长的最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 2．（2023春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）在锐角三角形中，，则边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，所以有，，由三角形为锐角三角形，可得，由正弦定理可得有，最后由即可得答案. 【详解】解：由可得: , 所以， 又因为， 所以， 所以，， 又因为三角形为锐角三角形， 所以， 所以， 在中，由正弦定理可得：， 即， 故有， 因为， 所以， 所以， 所以， 又因为边上的高， 所以. 故选：D. 3．（2023春·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，则下列命题正确的个数是（    ） （1）若，则 （2）若，，．则有两解 （3）已知的外接圆的圆心为，，，为上一点，且有，则． （4）若三角形为斜三角形，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用正弦定理可以判断（1）（2）是正确，利用向量数量积的定义可以判断（3）正确，利用两角和的正切公式可以判断（4）正确. 【详解】对于（1），若则，由正弦定理得，整理得，故而（1）正确； 对于（2），因为，，，由正弦定理得，即， 又因为，所以B有两解，故而（2）正确； 对于（3），因为O是的外心，所以==，同理可得， 又因为===, 所以，故而（3）正确； 对于（4），由,得，且三角形为斜三角形， 则= ， 所以，故而（4）正确； 故选：D 4．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（    ） A．12 B．24 C．27 D．36 【答案】A 【分析】先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得，再利用等面积法结合基本不等式即可得解. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 又因，所以， 由，得， 所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：A. 5．（2023春·陕西西安·高一统考阶段练习）已知的三个内角，，所对的边分别为，，.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系切化弦后，应用正弦定理角化边后，化简即可. 【详解】,. 由正弦定理,可得, , ,. 故选:C. 6．（2023春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理及余弦定理表示，结合基本不等式求得的取值范围，从而求得的取值范围，即得. 【详解】依题意， 由余弦定理得，， 所以 ，当且仅当时等号成立， 即为锐角，，， ， 所以的最大值为. 故选：B. 7．（2023春·河南·高一校联考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】中，由正弦定理可得，利用余弦定理可得：．再利用余弦定理及其基本不等式的性质可得的最小值，可得的最大值，即可得出三角形面积的最大值． 【详解】由正弦定理得： 由余弦定理得：，即 当且仅当时，即，，时取等号， , 则，所以面积的最大值. 故选：B 8．（2023春·河南·高三清丰县第一高级中学校联考阶段练习）在中，角的对边分别为，若，，，为内一点，且，则（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】先求出，设，利用正弦定理求出，即可求出. 【详解】在中，由余弦定理得，即，解得：. 在中，令，则. 在中，， ，由正弦定理得，即，所以. 又，所以，所以． 故选：B． 9．（2023春·宁夏银川·高一银川二中校考阶段练习）在△ABC中，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则△ABC一定为等腰三角形 C．若△ABC为钝角三角形，则 D．若，，，则△ABC有两解 【答案】AD 【分析】对