压轴题型14 八个视角处理双变量导数压轴题-2023年高考数学压轴题专项训练（新高考专用）

压轴题14 八个视角处理双变量导数压轴题 在高中数学中，导数算是难度天梯里排No.1的存在，在高考出题人的心中，导数算是一个超赞的存在，天生的守门员。但其实，现在同学们接触的只是导数世界的“皮毛”，真正的精髓还是要到大学中才会学习。导数大题是近年来高考的重点和热点问题，也是高考必考的板块之一，不管是简答题还是选择、填空都有涉及，也是拉分项。 我们不可否认导数解答题的难度，但也不能过分地夸大。像导数、函数这样的大板块，同学们必须会解题。遇到一个问题应该认真分析题型与问题条件，反复思考结论，每步做到“言必有据，步步合理”不用题海战术，每个板块都能攻克了！今天给大家整理总结了高考导数大题的常见类型及求解策略方法，大家通做一遍，复习提分效果更佳！ 1 构造偏导数 2 整体规划统一变量 3 比（差）值换元 4 同构性双变量 5 切线估计与剪刀差模型 6 不等式放缩 7 主元法 8 多项式拟合 经典例题 1.构造偏函数 注：1.构造偏差函数的基本应用 ①.函数的极值点为； ②.函数，然后证明：或. 2.构造偏差证明极值点偏移的基本方法： ①.构造一元差函数或是； ②.对差函数求导，判断单调性； ③.结合或，判断的符号，从而确定与的大小关系； ④.由的大小关系，得到，（横线上为不等号）； ⑤.结合单调性得到，进而得到. 例1．（23届福建七市联考）已知函数． （1）讨论的极值点个数； （2）若有两个极值点，且，当时，证明：． 2.整体划归，统一变量法 例2（23届泉州一诊）．已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若在有两个极值点，求证：． 例3．（23届温州二模）已知函数． （1）若，求方程的解； （2）若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，求的取值范围并证明． 3.比（差）值代换消元 例4．（23届武汉二月调考）已知关于的方程有两个不相等的正实根，且. （1）求实数的取值范围； （2）设为常数，当变化时，若有最小值，求常数的值. 例5．（23届南通二模）已知函数． （1）若，，求实数a的取值范围； （2）设是函数的两个极值点，证明：． 4.同构型双变量 例6．已知函数和有相同的最大值. （1）求a； （2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 性质： （1）； （2）同构特性： （3）若方程存在三个实数根，分别记为，则有 （4）若方程存在四个实根，记为，且有，则有： 2.，图象如下：，左端为，右端为. 性质： （1）； （2）同构特性： （3）若方程存在三个实数根，分别记为，则有 （4）若方程存在四个实根，记为，且有，则有： 5.切线估计与“剪刀差模型” 注4.“剪刀模型”基本原理 1. 函数凸凹性： 若函数在区间上有定义，若，则称为区间上的凸函数. 反之，称为区间上的凹函数. 2. 切线不等式： 在上为凸函数，，有. 反之，若为区间上的凹函数，则，有. 注：切线不等式是剪刀模型的理论依据. 3.剪刀模型 已知函数为定义域上的凸函数，且图象与交于两点，其横坐标为，这样如下图所示，我们可以利用凸函数的切线与的交点将的范围予以估计，这便是切线放缩的基本原理. 如图，在函数图象先减后增的情形下，两条切线和两条割线即可估计出零点的一个上下界，而切割线的方程均为一次函数，这样我们就可以得到一个显式解（精确解）的估计. 例7.（2023届皖南八校联考）已知函数，其中是自然对数的底数. （1）设曲线与轴正半轴相交于点，曲线在点处的切线为，求证：曲线上的点都不在直线的上方； （2）若关于的方程（为正实数）有两个不等实根，求证：. 6.不等式放缩 例8（2023届湖北七市州联考T22）．已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若有3个零点，，，其中． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 7.主元法 例9.（2022北京卷）已知函数． （1）求曲线在点，处的切线方程； （2）设，讨论函数在，上的单调性； （3）证明：对任意的，，有． 8.多项式拟合 例10（2021新高考1卷）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 针对性训练 1．已知函数有两个零点． (1)求实数a的取值范围． (2)函数，证明：函数有唯一的极小值点． 2．已知. (1)若在x=0处取得极小值，求实数a的取值范围； (2)若有两个不同的极值点（），求证：（为的二阶导数）. 3．已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 4．已知函数. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，求曲线与的公切线方程. 5．已知. (1)讨论的单调性； (2)确定方程的实根个数. 6．已知函数，. (1)当时，试讨