专题2.4 指数与指数函数-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

2.4 指数与指数函数 思维导图 知识点总结 知识点一　无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的 ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 知识点二　实数指数幂的运算性质 1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． 2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． 3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 知识点三　分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 知识点四　有理数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 知识点四　指数函数的定义 一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 思考　为什么底数应满足a>0且a≠1? 答案　①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1. 知识点五　两类指数模型 1．y＝kax(k>0)，当 时为指数增长型函数模型． 2．y＝kax(k>0)，当 时为指数衰减型函数模型． 知识点六　指数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 性质 过定点 过定点 ，即x＝0时，y＝ 函数值的变化 当x>0时， ； 当x<0时， 当x>0时， ； 当x<0时， 单调性 在R上是 在R上是 典型例题分析 考向一 运用指数幂运算公式化简求值 例1　计算下列各式(式中字母都是正数)： (1) (2) (3) 反思感悟　一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的． 考向二 分数指数幂运算的综合应用 例2　(1)已知am＝4，an＝3，求的值； (2)已知＝3，求下列各式的值． ①a＋a－1；②a2＋a－2；③ 反思感悟　条件求值问题的解法 (1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式． 考向三 指数函数的图象及应用 例1　(1)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) (2)函数f(x)＝1＋ax－2(a>0，且a≠1)恒过定点________． (3)已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝x＋1＋2的图象？并画出相应图象． 反思感悟　处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 考向四 比较大小 例4　(1)比较下列各题中两个值的大小． ①1.7－2.5,1.7－3；②1.70.3,1.50.3；③1.70.3,0.83.1. (2)设 则a，b，c的大小关系为________．(用“>”连接) 反思感悟　比较幂值大小的3种类型及处理方法 基础题型训练 一、单选题 1．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 2．函数，则方程的解集是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为 A．t≤–1 B．t<–1 C．t≤–3 D．t≥–3 4．已知，，，则 A． B． C． D． 5．已知函数，则使得成立的的取值范围是 A． B． C． D． 6．设函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数，则下列叙述正确的是（    ） A．当时，函数在区间上是增函数 B．当时，函数在区间上是减函数 C．若函数有最大值2，则 D．若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 8．已知函数，则（   ） A．为偶函数 B．是增函数 C．不是周期函数 D．的最小值为 三、填空题 9．若为方程