2.6.1余弦定理与正弦定理（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（北师大版2019必修第二册）

2.6.1 余弦定理与正弦定理 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：余弦定理 必会题型二：正弦定理 必会题型三：利用正、余弦定理实现边角互化 必会题型四：余弦定理及正弦定理综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 余弦定理 1．余弦定理及其推论的表示 文字叙述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍 公式表述 ，， 推论 【名师点睛】(1)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理(夹角为直角)是余弦定理的特例． (2)余弦定理揭示的是任意三角形的边角关系，是解三角形的重要工具之一．结构特征为“平方”“乘积”“夹角”“余弦”． (3)余弦定理的表达式中，含有三边和一边的对角这四个元素，可以知三求一． (4)余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．利用余弦定理的推论，还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角． (5)余弦定理的另一种常见变式：． 2．余弦定理的证明 (1)证法一：向量法． 如图6-4．3．1-1，在中，的长分别为． ，即． 同理可证． (2)证法二：作高法． 如图6-4．3．1-2，对任意三角形，的长分别为． 过点作，垂足为，则有， ． 根据勾股定理可得， ． 同理可证． (3)证法三：解析法． 设的边的长分别为， b．如图6-4．3．1-3，以为坐标原点， 的边所在的直线为轴，过点 且与轴垂直的直线为轴，建立平面直角 坐标系，则．由两点间的距离公式可得． 同理可证． 必会知识二 正弦定理 1．正弦定理的表示 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．知识剖析 (1)正弦定理中，各边与其对角的正弦严格对应，体现了数学中的对称美． (2)正弦定理是直角三角形边角关系的一个推广，正弦定理对任意三角形都成立，它的主要功能是实现三角形中边角关系的互化． 2．正弦定理的证明 证法一：作高法． 在中，分别是角的对边． 可分为以下三种情况： (1)如图2-6.1-3(1)，若是直角三角形，，则由， ，可知． (2)如图2-6.1-3(2)，若是锐角三角形，是边上的高，则根据三角函数的定义，得．同理，即． (3)如图2-6.1-3(3)，若是钝角三角形，是钝角，是边上的高，则根据三角函数的定义，得 同理，．即． 综合(1)(2)(3)，得对任意三角形均有 证法二：向量法． (1)当为锐角三角形时，如图2-6.1-4(1)．设．过点作单位向量垂直于，则与的夹角为与的夹角为． 由向量的加法法则可得． 为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们对等式的两边同时进行与向量的数量积运算，得到． 由分配律可得， ， ，即． 同理，过点作与垂直的单位向量，可得． (2)当为钝角三角形时，如图2-6.1-4(2)．设， ．过点作与垂直的单位向量，则与的夹角为与的夹角为． 由，得， 同理，过点作与垂直的单位向量， (3)当是直角三角形时，易得． 综合(1)(2)(3)，得对任意三角形均有． 证法三：利用三角形的外接圆证明(几何法)． 设圆为的外接圆，为外接圆的半径． (1)当是锐角三角形时，如图2-6.1-5(1)．设，连接并延长交圆于点，连接，则． 在Rt中，，得． 同理可证，． (2)当是直角三角形时，如图2-6.1-5(2)．设，则恰为外接圆的直径，即． (3)当是钝角三角形时，如图2-6.1-5(3)．设，连接并延长交圆于点，连接，则 在Rt中，， ，即． 同理可证，． ． 综合(1)(2)(3)，得对任意三角形均有． 【名师点睛】证法二是除教材中证法外新增的一种证法．证法三是对教材中例5证法的补充，体现了分类讨论思想的严谨性，该方法给出了正弦定理比值的几何意义． 3．正弦定理的常见变形 在中，由正弦定理为外接圆的半径)，得，由此可得正弦定理的下列变形： (1)； (2) (3)． 必会知识三 用余弦定理、正弦定理解三角形 在三角形的三条边和三个角这6个元素中，如果已知3个(至少含一边长)，那么由余弦定理和正弦定理，就可以求得其他3个元素．具体情形如下： 情形1已知两个角的大小和一条边的边长． 先由三角形内角和等于求出第三个角的大小，然后依据正弦定理求得另外两条边的边长． 情形2已知两条边的边长及其夹角的大小． 先由余弦定理求出第三条边的边长，然后再由余弦定理求得第二、第三个角的大小． 情形3已知三条边的边长． 由余弦定理求出两个角，再利用三角形内角和等于求出第三个角．情形4已知两条边的边长和其中一边对角的大小． 首先，由正弦定理求出第二条边所对角的正弦，这时要判断是两解、一解还是无解，然后根据三角形内角和等于得到第三个角