专题2.3 平面向量的数量积运算（5类必考点）-2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列（北师大版2019必修第二册）

专题2.3 平面向量的数量积运算 【考点1：求向量的数量积】 1 【考点2：利用向量的数量积求模】 3 【考点3：利用向量的数量积求夹角】 4 【考点4：向量垂直与向量的数量积关系】 6 【考点5：投影向量】 8 【考点1：求向量的数量积】 【知识点：求向量的数量积】 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量||||cos θ叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝||||cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·＝0. (2)几何意义：数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的运算律 (1) ·＝· (交换律)． (2)λ·＝λ(·)＝·(λb)(结合律)． (3)( ＋)·＝·c＋· (分配律)． [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补． (2)两向量，的数量积·与代数中，的乘积写法不同，不能省略掉其中的“·”．　　 1．（2023·江苏南通·统考一模）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．2 2．（贵州省贵阳市2023届高三下学期适应性考试（一）数学（文）试题）如图，在中，，则（    ） A．9 B．18 C．6 D．12 3．（2023·云南曲靖·统考一模）在扇形COD中，．设向量，，则（    ） A．－4 B．4 C．－6 D．6 4．（2023秋·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）如图，在同一平面内以平行四边形两边为斜边向外作等腰直角，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·陕西榆林·统考一模）在平行四边形中，，则（    ） A．4 B． C． D．3 6．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ） A． B． C． D．1 7．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）设是圆上的同点.且.则______. 8．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）在边长为3的等边三角形中，，则__________. 9．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知 ，， 若， 则__________ 【考点2：利用向量的数量积求模】 【知识点：利用向量的数量积求模】 几何表示 模 ||＝ 1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）已知向量，都是单位向量，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（2023·广东深圳·统考一模）已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知，为单位向量，向量满足.若与的夹角为60°，则（    ） A． B． C． D．3 4．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知向量、满足，与的夹角为，若存在实数，有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2022秋·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习）已知，，，求______． 6．（2022秋·河北唐山·高三开滦第一中学校考期中）已知向量满足，且，则__________. 7．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）在中，，则__________；__________. 8．（2023·高一课时练习）已知向量与的夹角，，，求 (1)； (2)． 9．（2023·高一单元测试）已知，，与的夹角为．求： (1)； (2)； (3)． 【考点3：利用向量的数量积求夹角】 【知识点：利用向量的数量积求夹角】 几何表示 夹角 cos θ＝ 1．（2023·广东深圳·统考一模）已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·高三课时练习）在中，点E、F分别在边AB、AC上，D为BC的中点，满足，，则（    ）． A．0 B． C． D． 3．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·河南郑州·统考一模）若两个非零向量，满足，则与的夹角为______． 5．（2023春·甘肃天水·高三校考开学考试）设三角形ABC是等边三角形，它所在平面内一点满足，则向量与夹角的余弦值为______. 6．（2023·高三课时练习）已知、是互相垂直的两个单位向量，若向量与向量的夹角是钝角，则实数t的取值范围是______． 7．（2022春·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）已知向量与的夹角，且，． (1)求，； (2)求； (3)与的夹角的余弦值． 8．（2