上海市长宁区2023届高三二模数学试题

2023届长宁区高三二模考试数学试卷 一、填空题 1. 已知集合，，则______. 2. 若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为___________． 3 已知事件A与事件B相互独立，如果，，那么__________． 4. 当时，幂函数的图象总在的图像上方，则a的取值范围为_______ 5. 已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为，则这个圆锥的体积为___________． 6. 若函数为奇函数，则实数a的值为___________． 7. 设随机变量X服从正态分布，若，则___________． 8. 某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要___________米栅栏． 9. 若函数，满足，且，则___________. 10. 若对任意，均有，则实数a的取值范围为___________． 11. 已知空间向量，，，满足：，，，，则的最大值为___________． 12. 已知是双曲线左、右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于点P，若双曲线的离心率为2，则__________． 二、单选题 13. 在下列统计指标中，用来描述一组数据离散程度的量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 百分位数 D. 标准差 14. 设复平面上表示和的点分别为点A和点B，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15. 如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 直线始终与直线异面 D. 直线始终与直线异面 16. 设各项均为实数的等差数列和的前n项和分别为和，对于方程①，②，③．下列判断正确的是（ ） A. 若①有实根，②有实根，则③有实根 B. 若①有实根，②无实根，则③有实根 C. 若①无实根，②有实根，则③无实根 D. 若①无实根，②无实根，则③无实根 三、解答题（本大题共有5题、满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 盒子中有5个乒乓球，其中2个次品，3个正品．现从中不放回地随机摸取2次小球，每次一个． （1）记“第二次摸出的小球是正品”为事件B，求证：； （2）用X表示摸出的2个小球中次品的个数，求X的分布列和期望． 18. 如图，在四棱锥中，底面直角梯形，，，，，分别为棱中点． （1）求证：平面平面； （2）若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角的大小． 19. 某地新能源汽车保有量符合阻沛型增长模型，其中为自统计之日起，经过t年后该地新能源汽车保有量、和r为增长系数、M为饱和量． 下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 t 0 1 2 3 4 保有量 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 假设该地新能源汽车饱和量万辆． （1）若，假设2018年数据满足公式，计算值（精确到0.01）并估算2023年年底该地新能源汽车保有量（精确到0.1万辆）； （2）设，则与t线性相关．请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定和r的值（精确到0.01）． 附：线性回归方程中回归系数计算公式如下：. 20. 已知抛物线：焦点为，准线为，直线经过点且与交于点、. （1）求以为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆的标准方程； （2）若，求线段的中点到轴的距离； （3）设为坐标原点，为上的动点，直线、分别与准线交于点、.求证：为常数. 21. （1）求简谐振动的振幅、周期和初相位； （2）若函数在区间上有唯一的极大值点，求实数m的取值范围； （3）设，，若函数在区间上是严格增函数，求实数a的取值范围． 2023届长宁区高三二模考试数学试卷 一、填空题 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】## 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】## 【6题答案】 【答案】1 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】3 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】3 【12题答案】 【答案】 二、单选题 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】B 三、解答题（本大题共有5题、满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2）分布列见解析，X的期望为. 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【19